287 - Dipolo in un campo magnetico

DeoGratias · Messaggio da **DeoGratias** » 8 gen 2022, 19:25

Un dipolo, costituito da due particelle di massa $m$ e carica $q,-q$ , unite da un'asta rigida di lunghezza $l$ e massa trascurabile, viene inserito in un campo magnetico uniforme e costante $\vec{B}$ . Sia $\vec{R}$ la posizione del centro di massa, $\vec{l}$ un vettore di modulo $l$ diretto dalla carica negativa a quella positiva e $\vec{\omega}$ la velocità angolare del dipolo.
Nel moto del dipolo non si conserva la quantità di moto totale $\vec{P}$ , ma una sua forma modificata, $\vec{P'}$ . Qual è questo vettore?

Supponiamo ora che $\vec{B}=B \hat{z}$ e che per $t=0$ il centro di massa sia a riposo nell'origine, $\vec{l}$ punti lungo $\hat{x}$ e $\vec{\omega} =\omega_0 \hat{z}$ .

Per $\omega_0$ minore di un certo valore critico $\omega_c$ il dipolo non riesce a compiere una rotazione completa su se stesso. Quanto vale $\omega_c$ ?
Qual è la massima distanza lungo l'asse $x$ raggiungibile dal centro di massa?

Luca Milanese · Messaggio da **Luca Milanese** » 10 gen 2022, 21:55

Poichè la lunghezza di $\vec l$ è fissa, si ha:
$\displaystyle \dot{\vec l} = \vec \omega \times \vec l$
La velocità di ciascuna carica è allora:
$\vec v_{\pm}= \frac{\text{d}}{\text{d}t} \bigg (\vec R \pm \frac{\vec l}{2} \bigg)= \dot{\vec R} \pm \frac{\vec \omega \times \vec l}{2}$
Perciò la forza agente su ciascuna è:
$\vec F_{\pm} =\pm q \vec v_{\pm} \times \vec B = q\bigg [\pm \dot{\vec R} \times \vec B + \bigg (\frac{\vec \omega \times \vec \l}{2}\bigg) \times \vec B \bigg]$
La forza totale risulta $\vec F = \vec F_{+} + \vec F_{-} =q(\vec \omega \times \vec l) \times \vec B = \frac{\text{d} (q\vec l \times \vec B)}{\text{d}t}$
Per la Seconda Legge di Newton:
$\vec F =\frac{\text{d} \vec P}{\text{d}t} \Rightarrow \frac{\text{d} (q \vec l \times \vec B)}{\text{d}t} = \frac{\text{d} (2m \dot{\vec R} ) }{\text{d} t} \Rightarrow \frac{\text{d}}{\text{d}t} \bigg (2m \dot{\vec R} +q\vec B \times \vec l \bigg) = \vec 0$
$\Rightarrow \vec P' = 2m \dot{\vec R} +q \vec B \times \vec l$
Dall'espressione della forza su ciascuna carica si deduce inoltre che, se inizialmente il dipolo è perpendicolare al campo magnetico, e la sua velocità angolare è ad esso parallela, allora il moto del dipolo si svolgerà sempre in un piano perpendicolare a $\vec B$ e la sua velocità angolare sarà costante in direzione. Essendo questo il caso del problema, scrivo $\vec l = l(\hat x \cos \theta + \hat y \sin \theta)$ e $\vec \omega = \dot \theta \hat z$ , dove $\theta$ è l'angolo fra $\vec l$ e l'asse delle ascisse. Inoltre scrivo $\vec R = x\hat x + y \hat y$ .
Per la conservazione di $\vec P'$ si ha:
$qBl=2m \dot y + qBl \cos \theta \Rightarrow \dot y = \frac{qBl (1-\cos \theta)}{2m}$
$0=2m \dot x - qBl \sin \theta \Rightarrow \dot x = \frac{qBl \sin \theta}{2m}$
Per la conservazione dell'energia, essendo $\frac{ml^2}{2}$ il momento d'inerzia del dipolo attorno a un asse parallelo a $\hat z$ e passante per il suo centro di massa:
$\frac{ml^2 \omega_0^2}{4}=\frac{ml^2 \dot \theta^2}{4}+m(\dot x^2+\dot y^2)$
Si trova così:
$\dot \theta^2 = \omega_0^2 -\frac{2 q^2 B^2 (1-\cos \theta)}{m^2}$
Il dipolo riesce a compiere una rotazione se si ha $\dot \theta^2 >0$ per ogni angolo $\theta$ :
$\omega_0^2 >\frac{2 q^2 B^2 (1-\cos \theta)}{m^2}$
Il massimo valore del membro di destra al variare di $\theta$ è $\bigg(\frac{2qB}{m}\bigg)^2$ , perciò:
$\omega_c=\frac{2qB}{m}$
Derivando rispetto al tempo la conservazione dell'energia si ottiene inoltre:
$2\dot \theta \ddot \theta=-\frac{2q^2 B^2\sin \theta \dot \theta}{m^2}$
Sostituendo nell'espressione di $\dot x$ :
$\dot x=-\frac{ml \ddot \theta}{2qB}$
Integrando:
$x=\frac{ml(\omega_0-\dot \theta)}{2qB}=l \frac{\omega_0 - \dot \theta}{\omega_c}$
Perciò la massima distanza lungo $x$ si raggiunge quando $\dot \theta$ assume il suo minimo valore. Da quanto visto sopra, se $\omega_0>\omega_c$ , si ha:
$\omega_{min}=\sqrt{\omega_0^2-\omega_c^2} \Rightarrow x_{max}=l \frac{\omega_0-\sqrt{\omega_0^2-\omega_c^2}}{\omega_c}$
Se $\omega_0 <\omega_c$ , allora durante la rotazione del dipolo $\theta$ si annulla e passa a valori negativi, fino al minimo valore $-\omega_0$ , perciò in questo caso:
$x_{max}=\frac{2l\omega_0}{\omega_c}$
Infine, se $\omega_0=\omega_c$ , si ha:
$\dot \theta^2=\frac{\omega_0^2 (1+\cos \theta)}{2}$
Questa equazione differenziale si risolve esplicitamente con la sostituzione $\phi=\frac{\pi-\theta}{2}$ :
$\frac{\text{d}\theta}{\text{d}t}=\omega_0 \cos \frac{\theta}{2} \Rightarrow -2\frac{\text{d}\phi}{\text{d}t}=\omega_0 \sin \phi \Rightarrow \int_{\frac{\pi}{2}}^{\phi} \frac{\text{d}\phi}{\sin\phi} =-\frac{\omega_0t}{2} \Rightarrow$
$\tan \frac{\phi}{2} =e^{-\frac{\omega_0 t}{2}} \Rightarrow \theta(t)=\pi-4\arctan \bigg (e^{-\frac{\omega_0 t}{2}}\bigg) \Rightarrow \dot \theta(t)=\frac{2\omega_0 e^{-\frac{\omega_0 t}{2}}}{1+e^{-\omega_0 t}}$
Perciò il valore minimo di $\dot \theta$ in questo caso è $0$ , che viene raggiunto solo dopo un tempo infinito. Si ha quindi:
$x_{max}=\frac{l \omega_0}{\omega_c}=l$

DeoGratias · Messaggio da **DeoGratias** » 11 gen 2022, 0:24

Il risultato è corretto. Mi sembra che tu abbia sbagliato un segno nell'ultimo passaggio per trovare $\vec{P'}$ , ma ovviamente il resto è giusto. A te il prossimo!
Il problema è tratto dalle APhO 2001

Luca Milanese · Messaggio da **Luca Milanese** » 11 gen 2022, 0:51

Forse mi sfugge qualcosa, ma ho cambiato l'ordine di $\vec l$ e $\vec B$ nel prodotto vettoriale spostandolo all'altro membro, quindi mi pare che il segno torni.

DeoGratias · Messaggio da **DeoGratias** » 17 gen 2022, 15:53

Sì, errore mio

DeoGratias · Messaggio da **DeoGratias** » 22 mag 2022, 21:23

This aged well.

Luca Milanese · Messaggio da **Luca Milanese** » 24 mag 2022, 11:51

DeoGratias ha scritto: ↑
22 mag 2022, 21:23
This aged well.

Quanta verità.

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