285. Carica in un conduttore

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Pigkappa
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285. Carica in un conduttore

Messaggio da Pigkappa » 29 dic 2021, 18:42

Si inserisce in modo casuale della carica elettrica all'interno di una sfera di rame di raggio , cosi' che inizialmente il potenziale elettrico all'interno non e' uniforme. Il rame ha resistivita' .

Usando le leggi di Maxwell, si stimi il tempo che ci mette la carica a ridistribuirsi all'interno della sfera.
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Re: 285. Carica in un conduttore

Messaggio da Luca Milanese » 4 gen 2022, 0:07

Per la legge di continuità, se è la densità di carica e è la densità di corrente:

Per la legge di Gauss, se è il campo elettrico e la constante dielettrica relativa del rame può considerarsi pari a :

Se è la conduttività, e questa è uniforme nell'oggetto, si ha per definizione:

Da cui:

Perciò si ha:

Ciò significa che la densità di carica all'interno del conduttore decade esponenzialmente con tempo caratteristico , indipendentemente dalla forma dell'oggetto, mentre la carica fluisce sulla superficie della sfera.
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Pigkappa
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Re: 285. Carica in un conduttore

Messaggio da Pigkappa » 4 gen 2022, 3:01

Questo risultato è realistico, o c'è qualcosa che non va?
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Re: 285. Carica in un conduttore

Messaggio da Luca Milanese » 4 gen 2022, 22:21

Non mi viene in mente nulla, però quel tempo caratteristico sembra molto breve.
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roncu
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Re: 285. Carica in un conduttore

Messaggio da roncu » 6 gen 2022, 13:04

Avevo colto l'occasione del problema per guardare le eq. di Maxwell ovviamente nella versione non differenziale sia sul libro di testo dell'Amaldi sia sull'Halliday regalatomi in questi giorni. Non conosco le vostre notazioni vettoriali. Posto il mio procedimento perchè mi verrebbe un risultato simile a quello di Luca e ovviamente per avere un giudizio.
Considero una sfera di raggio r interna a quella di rame e indico con la densità di carica media dentro la sfera che ovviamente varia rispetto a r e rispetto al tempo. Per il teorema di Gauss, detta la sua area e detto il suo volume, risulta
e quindi .
Da dove è l'inverso della resistività del rame, si ottiene
.
Risulta così

Avrei così ottenuto che tende chiaramente a 0 quando tutta la carica aggiuntiva si è distribuita uniformemente sulla superficie sferica del conduttore rame e all'interno rimangono tante cariche positive quante negative. La costante di tempo, trascorsa la quale a partire da 0 la densità media è (1/e), meno della metà di quella fornitagli, vale nel mio caso
.
Si tratta come dice Luca di un tempo molto breve. Per quello che ho orecchiato sulla relatività dalle lezioni del prof potrebbe essere in contrasto con il principio di indeterminazione se le incertezze sulla posizione e la qdm delle particelle granulari che costituiscono le cariche fossero dell'ordine di totalizzando ...Ma non so di cosa parlo!

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Re: 285. Carica in un conduttore

Messaggio da Luca Milanese » 6 gen 2022, 15:36

roncu ha scritto: 6 gen 2022, 13:04 e quindi .
Attento, non sai se la distribuzione di carica abbia simmetria sferica: il campo elettrico che stai usando è in realtà il (modulo del) campo medio sulla superficie della sfera di raggio ; inoltre, come hai scritto tu stesso, anche potrebbe a priori dipendere da , per cui a rigore dovresti derivare il prodotto .
roncu ha scritto: 6 gen 2022, 13:04 Da dove è l'inverso della resistività del rame, si ottiene
.
Qui la prima relazione è sbagliata. Immagino che tu intedessi scrivere l'equazione di continuità per mettere in relazione il flusso di carica uscente dalla sfera di raggio con la variazione di carica al suo interno. In tal caso otterresti:

Anche qui, devi parlare di della densità di corrente media. A questo punto, se continui i calcoli, noterai che si semplificherà il di troppo che risultava dal tuo procedimento. :)
La notazione vettoriale che ho usato è un modo compatto per dire esattamente le stesse cose che hai scritto in termini dei valori medi delle quantità coinvolte.
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Re: 285. Carica in un conduttore

Messaggio da roncu » 7 gen 2022, 11:39

Grazie, chiarissimo. Quindi si poteva fare anche senza la vostra sintetica e sofisticata forma vettoriale-differenziale che forse esula dalle competenze liceali perchè non la trovo nella mia edizione dell'Amaldi. Mi rimane ora il dubbio sulla maliziosa domanda che ti ha fatto pigkappa :D :?:

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Re: 285. Carica in un conduttore

Messaggio da Luca Milanese » 7 gen 2022, 11:51

In realtà, non proprio. Quello che tu hai dimostrato è che la densità media in ogni sfera interna (e quindi la densità media su ogni raggio ) decade esponenzialmente, ma ciò non ti dice nulla sulla densità in ogni punto del guscio. Comunque non sono sicuro che non si possa sistemare ugualmente senza utilizzare operatori.
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Re: 285. Carica in un conduttore

Messaggio da roncu » 7 gen 2022, 12:16

Ma io avevo introdotto la media proprio perchè non so lavorare puntualmente senza la forma differenziale! Se hai tempo per vedere di quella sistemazione te ne sono grato :D

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Re: 285. Carica in un conduttore

Messaggio da Luca Milanese » 7 gen 2022, 12:30

Ripensandoci, è abbastanza facile: per ogni volume interno alla sfera, se è il flusso del campo elettrico sulla sua superficie e è quello della densità di corrente elettrica, si ha e , quindi . Dividendo per il volume in questione e andando al limite , si ottiene proprio , col vantaggio che, non essendoci limitati a un volume particolare (come può essere quello di una sfera concentrica all'oggetto in questione), questa relazione vale per ogni punto dell'oggetto. In effetti, l'operatore che ho usato sopra esprime proprio il rapporto fra il flusso di un vettore e il volume considerato nel limite in cui questo tenda a zero.
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