284. Tre masse

Area riservata alla discussione dei problemi teorici di fisica
Rispondi
Luca Milanese
Messaggi: 452
Iscritto il: 13 giu 2019, 10:05
Località: Terracina

284. Tre masse

Messaggio da Luca Milanese » 24 dic 2021, 13:03

È dato un sistema planare costituito da tre aste identiche di massa trascurabile e lunghezza , che condividono uno stesso vertice. All'altro estremo di ciascuna asta è attaccata una massa puntiforme, che vale , o in base all'asta. Il sistema è libero di traslare nel piano che lo contiene, e le aste sono libere di ruotare attorno al vertice comune. Inizialmente l'angolo tra ciascuna coppia di aste è uguale e vale . Improvvisamente, alla massa è impressa una velocità perpendicolare alla sua asta. Si determinino le accelerazioni delle tre masse in quell'istante. La gravità è trascurabile.
Valid Facts and Theoretical Understanding Generate Solutions to Hard Problems

Pigkappa
Messaggi: 2029
Iscritto il: 11 gen 2009, 14:58
Località: Londra

Re: 284. Tre masse

Messaggio da Pigkappa » 26 dic 2021, 17:49

Non ho capito troppo bene, per accelerazione intendi la velocità delle altre due masse subito dopo questa spinta? Oppure intendi l'accelerazione che hanno subito dopo la spinta?

L'accelerazione nell'istante della spinta sarà funzione di quanto dura la spinta (o infinita se la spinta dura un tempo infinitesimale).
"Per un laser, si passa da temperature positive a temperature negative non passando attraverso 0 K, ma passando attraverso l'infinito!" (cit.)
"Perché dovremmo pagare uno scienziato quando facciamo le migliori scarpe del mondo?" (cit.)

Luca Milanese
Messaggi: 452
Iscritto il: 13 giu 2019, 10:05
Località: Terracina

Re: 284. Tre masse

Messaggio da Luca Milanese » 26 dic 2021, 18:01

Intendo l'accelerazione che hanno subito dopo la spinta, effettivamente mi sono spiegato male.
Valid Facts and Theoretical Understanding Generate Solutions to Hard Problems

Pigkappa
Messaggi: 2029
Iscritto il: 11 gen 2009, 14:58
Località: Londra

Re: 284. Tre masse

Messaggio da Pigkappa » 28 dic 2021, 19:43

Questo problema mi sta mettendo in difficolta'. Scrivo qua i miei ragionamenti. Chiamo le posizioni delle particelle e del punto in cui si incontrano le aste. Ho ancora qualche dubbio ma mi sono abbastanza convinto che sia possibile impartire la velocita' a P3 e non alterare affatto la velocita' delle altre due particelle.

In coordinate:





Le velocita' dopo la spinta sono e

Condizione 1: la distanza tra P1 e O rimane fissa:

Derivando

Derivando e usando e :


Condizione 2: la distanza tra P2 e O rimane fissa; stesso ragionamento:


Condizione 3: la distanza tra P3 e O rimane fissa;

Derivando

Derivando, e notando che stavolta :


Condizione 4: la accelerazione del CDM e' zero:

Queste sono due equazioni, una per componente

Condizione 5: si conserva l'energia cinetica:

Derivando, e usando che :


Condizione 6: si conserva il momento angolare rispetto a qualsiasi punto, ad esempio O:

Derivando:

Questa condizione da' una sola equazione utile lungo .

Interpretando, la 1 e 2 impongono che le accelerazioni di P1 e P2 rispetto ad O sono ortogonali alle aste. La 3 impone la condizione equivalente tra P3 ed O, ma con un termine in piu' perche' P3 ha bisogno di una forza centripeta avendo velocita' non nulla. La 4 da' due equazioni sulla conservazione della QDM totale. La 5 impone la conservazione dell'energia e dimostra che inizialmente P3 ha solo accelerazione centripeta, non ne puo' avere una tangenziale. La 6 e' la conservazione del momento angolare.

Una condizione ulteriore e' il fatto che la somma delle forze su O deve essere nulla, ma questa da' due equazioni uguali a quelle di conservazione della quantita' di moto.

Quindi alla fine ho 8 incognite e 7 equazioni. Sono bloccato. E' possibile che mi sono scordato una condizione. Scrivo comunque qua sotto i miei tentativi strambi di risolvere il problema senza questa condizione.

Consideriamo il problema piu' facile in cui non c'e', c'e' una sola particella che si trova proprio sopra P3, con :


In questo caso le equazioni sopra bastano e ottengo

Adesso immaginiamo di sdoppiare la particella in due particelle di massa nella stessa posizione, cosi' che:

Vorremmo immaginare che, per simmetria, il risultato per e sia lo stesso, ma in realta' questo non viene fuori dalle equazioni. Si puo' impartire una qualsiasi accelerazione alla prima particella e una opposta alla seconda e tutto rimane uguale: queste accelerazioni sono ortogonali all'asta quindi non c'e' problema per il vincolo geometrico; non trasferiscono energia, agendo su particelle ferme; non cambiano la conservazione della quantita' di moto perche' la somma fa zero; ed agiscono nello stesso punto quindi non c'e' problema per il momento angolare.

Immaginiamo pero' cosa succede nel resto del moto: P3 si muove verso destra e poi iniziera' a muoversi verso l'alto, intanto rallentera' e trasferira' energia a queste due masse. Dovendo trovare una condizione in piu', mi viene naturale supporre che si punti al minimo trasferimento di energia possibile. L'energia di queste masse e':

Derivata:

Notiamo che e' zero perche' le velocita' sono nulle, comunque calcoliamo la derivata seconda, e in questa usiamo che la velocita' iniziale e' zero:

Per cui, se volessimo minimizzare il trasferimento di energia a queste particelle, dovremmo minimizzare che ci porterebbe a scegliere la soluzione per cui . E se invece di avere diviso la massa in alto in due, la avessimo divisa in quattro? Il ragionamento funziona lo stesso, e ci direbbe che tutte e quattro hanno zero accelerazione lungo x.

Torniamo al problema originario. Dopo qualche conto, le sette equazioni di cui fidarsi sono:








Trattiamo come un parametro e ricaviamo:






Se avessi un buon argomento per decretare che deve essere 0 lo userei e il risultato sarebbe abbastanza semplice, ma non ce l'ho, e mi rifaccio all'argomento sopra, per cui la soluzione preferita sara' quella per cui e' minima. In questo caso, dopo aver fatto una derivata, si trova

E sostituendo nelle altre:





I moduli sono:


"Per un laser, si passa da temperature positive a temperature negative non passando attraverso 0 K, ma passando attraverso l'infinito!" (cit.)
"Perché dovremmo pagare uno scienziato quando facciamo le migliori scarpe del mondo?" (cit.)

Luca Milanese
Messaggi: 452
Iscritto il: 13 giu 2019, 10:05
Località: Terracina

Re: 284. Tre masse

Messaggio da Luca Milanese » 28 dic 2021, 21:52

I tuoi risultati sono sbagliati.
Non ho controllato tutti i tuoi conti, però ho trovato un paio di errori, cioè l'uso del pedice al posto di nella seconda equazione (non so se tu li abbia poi svolti col pedice giusto o meno):
Pigkappa ha scritto: 28 dic 2021, 19:43 Torniamo al problema originario. Dopo qualche conto, le sette equazioni di cui fidarsi sono:

Mentre qui hai dimenticato di moltiplicare anche l'ultimo termine per :
Pigkappa ha scritto: 28 dic 2021, 19:43
Tutte le condizioni che hai trovato sono corrette. Il tuo argomento sul minimo scambio di energia non mi convince affatto, ma non ho controllato se, correggendo gli errori di sopra, porti al risultato esatto. In ogni caso non è necessario: la condizione mancante che cerchi riguarda la direzione delle forze su ciascuna massa, che è ovvia dalla geometria del sistema; inoltre, dandoti tre equazioni, rende superflue quelle sulla conservazione del momento angolare e dell'energia.
Valid Facts and Theoretical Understanding Generate Solutions to Hard Problems

Pigkappa
Messaggi: 2029
Iscritto il: 11 gen 2009, 14:58
Località: Londra

Re: 284. Tre masse

Messaggio da Pigkappa » 29 dic 2021, 2:32

Avevo sbagliato a copiare quelle equazioni ma ho usato quelle giuste nei conti, phew.

...Ok, la condizione mancante e' che la forza su un'asta di massa trascurabile deve essere per forza radiale.

Non la definirei proprio ovvia, e' il tipo di cosa che serve raramente ed e' facile dimenticarsi :P. Comunque il motivo e' che se c'e' una forza trasversale, l'asta avrebbe accelerazione angolare infinita. In generale, se l'asta non ha massa trascurabile, la condizione non e' vera - la forza nel punto di giunzione puo' essere trasversale; quel che mi sono scordato di scrivere in pratica sono le equazioni per la rotazione delle aste.

Aggiungendo queste condizioni il risultato mi viene:







I moduli sono:


"Per un laser, si passa da temperature positive a temperature negative non passando attraverso 0 K, ma passando attraverso l'infinito!" (cit.)
"Perché dovremmo pagare uno scienziato quando facciamo le migliori scarpe del mondo?" (cit.)

Luca Milanese
Messaggi: 452
Iscritto il: 13 giu 2019, 10:05
Località: Terracina

Re: 284. Tre masse

Messaggio da Luca Milanese » 29 dic 2021, 10:21

Va bene, adesso è giusto, a te la staffetta. :D
Valid Facts and Theoretical Understanding Generate Solutions to Hard Problems

Rispondi