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Una carica è posta sul vertice di un cono di apotema e di densità di carica superficiale . Ora, supponiamo di sezionare il cono a e di rimuovere la parte superiore: qual è la forza agente sulla carica dovuta alla parte inferiore del cono? Determinare inoltre per quale angolo essa è massima, detto l'angolo di apertura del cono

La carica sia posta nell'origine di un sistema di coordinate sferiche e l'asse delle coincida con l'asse di simmetria del cilindro. Quest'ultimo giace nel semispazio delle negative. La forza netta sulla carica è chiaramente diretta verticalmente. Un elemento di cono di area esercita sulla carica una forza la cui componente è:

Dunque la forza totale si ottiene come:

Chiaramente, la forza risulta massima per .

Scusa Luca sono l'ultimo venuto e può darsi che non abbia capito e abbia equivocato quello che hai scritto. L'angolo teta di apertura del cono dovrebbe essere quello fra il suo asse e l'apotema. Ora per teta=pigreco/2 mi pare che il tronco di cono si riduca ad una corona circolare centrata in q che darebbe luogo a forze orizzontali in cui quelle generate da elementi diametralmente opposti si eliderebbero. Cioè la forza sarebbe non massima ma complessivamente nulla ??? Forse il risultato è teta=pigreco/4???

Io ho inteso l'angolo di apertura come il doppio dell'angolo fra asse e apotema, chiaramente in caso contrario al mio andrebbe sostituito e l'angolo del massimo sarebbe .

Luca il procedimento è giusto, però l'angolo di apertura è effettivamente ciò che ha detto Roncu, quindi dovresti sostituire con per ottenere il risultato corretto. Visto che l'errore è stato nella mia spiegazione poco chiara direi che la staffetta è tua, vai pure col 279
Mi sembrava comunque giusto far notare a chiunque volesse provare che c'è un metodo per risolverlo senza integrali doppi, che se nessuno manda posterò io più avanti

Tanto anche per esercitarmi a latex. Non avevo usato integrali doppi che non conosco ma integrali semplici. Detta la variabile corrente sull'apotema, variabile fra l/2 e l, avevo diviso la superficie troncoconica in corone circolari infinitesime di raggio e spessore , fatte di punti equidistanti da q che esercitano su essa la forza infinitesima dF= kq.sigma.2pigreco./ dove k è la costante di Coulomb. Pertanto il modulo della forza si ottiene integrando dF con variabile fra l/2 e l. Viene il ln2 e il risultato sarebbe se non ho sbagliato i conti F=2pigreco kq sensigma.ln2: Chiaramente F ha due componenti orizzontale e verticale. Le componenti orizzontali si elidono perchè due elementi diametralmente opposti di ogni coroncina danno luogo a forze orizzontali opposte. Le componenti verticali ottenute moltiplicando per cossi sommano dando come risultato finale se non sbaglio F=2pigreco kq sensigma.ln2.cos. Si vede facilmente che il massimo si ottiene per sen=1 cioè 2=pigreco/2 e quindi .

Non riesco a modificare il mio messaggio originale, però @roncu ha ottenuto il risultato corretto evitando la doppia integrazione, praticamente saltando quella in considerando direttamente le corone circolari. Pertanto, se @Rick è d'accordo, lascerei a lui il testimone.

@roncu perfetto, come dice @Luca Milanese la staffetta è tua

In altra situazione non so dove avrei potuto trovare un problema adeguato a voi così avanti rispetto a me In questo caso però non avendo ricevuto risposte all'SNS 2021-1 vi prego di considerare quello il n.279 perchè non mi riesce di farci rientrare l'integrale suggerito - tanto non sarò solo a essere interessato al concorso di ammissione SNS!!