279 - SNS 2021/1

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roncu
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Messaggio da roncu » 16 nov 2021, 12:58

Scusate mi sono appena iscritto perché avevo intenzione di partecipare al concorso di ammissione SNS ma ho trovato subito il primo problema di questo anno che mi ha spaventato.

Un corpo rigido può essere approssimato con una superficie cilindrica di raggio r composta da due superfici semicilindriche (simmetriche rispetto ad un piano passante per l'asse del cilidro) omogenee ma di densità diversa di masse M e m<M. Questo cilindro è posto inizialmente su un piano inclinato di un angolo con la parte più pesante verso l'alto (in modo che tutti i punti della superficie di massa M si trovino ad una quota superiore a quelli della superficie di massa m) e l'asse geometrico parallelo alle linee di ugual quota; il cilindro è soggetto ad un campo gravitazionale di modulo g diretto verso il basso. Il piano inclinato si raccorda dolcemente con un piano orizzontale e l'asse geometrico del cilindro si trova ad una quota h+r rispetto alla quota di tale piano. Sotto l'ipotesi di attrito volvente trascurabile e di puro rotolamento, descrivere la velocità dell'asse geometrico del cilindro in funzione della distanza da un punto arbitrario del piano orizzontale. Integrale potenzialmente utile

Ho determinato il CM del sistema e ho provato a impostare l'eq. di Newton rispetto a P asse istantaneo di rotazione ma non so risolverla. Troverei forse una soluzione applicando la conservazione dell'energia ma non ci rientra l'integrale suggerito!

Luca Milanese
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Re: 279 - SNS 2021/1

Messaggio da Luca Milanese » 27 nov 2021, 17:26

Considererò il moto dell'oggetto quando questo è già sceso dal piano inclinato e si muove sul piano orizzontale. Cerco anzitutto la posizione del centro di massa del cilindro, che indico con , mentre è il suo centro geometrico. La distanza del centro di massa di una semicirconferenza omogenea di massa e raggio dal suo centro geometrico è data da:

Pertanto la distanza nel cilindro risulta
Quando l'angolo , detto il punto di contatto fra cilindro e terreno, vale , l'energia potenziale del cilindro è:

Ora fisso un sistema di riferimento tale che l'asse delle è orizzontale, l'asse delle è verticale e l'origine è situata nel punto di raccordo fra il piano orizzontale e la rampa. Le velocità e sono legate dalla condizione di rotolamento puro:

La posizione di un punto della superficie cilindrica tale che l'angolo vale è data da:

Perciò la sua velocità è:

Da cui l'energia cinetica è:


Per le ipotesi del problema, l'energia si conserva, e quella iniziale vale:

Dunque:



Resta da esprimere in funzione di . La distanza complessiva percorsa dal punto di contatto del cilindro è:

Che corrisponde a un angolo di rotazione:

Sostiuendolo nell'espressione di sopra si ottiene il risultato cercato.
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roncu
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Re: 279 - SNS 2021/1

Messaggio da roncu » 28 nov 2021, 12:42

Grazie Luca. Credo di aver capito tutto anche se forse era opportuno usare un simbolo diverso da r per la posizione di Q per non confonderla con il raggio del cilindro. Anche se ovviamente il testimone è tuo devo riflettere per un paio di giorni perchè il procedimento che hai usato non poteva secondo me essere alla portata di un liceale per di più all'esame. A meno che non ci si contentasse di meno dato che il testo parla di "descrivere" la velocità in funzione di...Dopo la riflessione posterò la soluzione che avevo pensato con il moto del CM rotatorio attorno ad O e traslatorio con O. Ho pensato che si dovesse dare la velocità in un punto qualsiasi del PIANO INCLINATO in funzione della distanza dal piano orizzontale :D :D

Luca Milanese
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Re: 279 - SNS 2021/1

Messaggio da Luca Milanese » 29 nov 2021, 19:03

In effetti il testo non è chiarissimo, però alcuni ragazzi che hanno passato il test mi hanno detto di aver trattato il caso in cui il cilindro è già sceso a terra. Per quanto riguarda il procedimento, alcuni integrali potevano essere evitati, per esempio l'espressione dell'energia cinetica si può ottenere anche con il Teorema degli assi paralleli e col Teorema di Koenig.
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roncu
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Re: 279 - SNS 2021/1

Messaggio da roncu » 30 nov 2021, 12:38

Non ho tempo domani penso di fare la soluzione cui ho pensato e che seguendo il testo non parte dal piano orizzontale 😄

roncu
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Re: 279 - SNS 2021/1

Messaggio da roncu » 3 dic 2021, 12:34

Una risposta qualitativa al quesito consistente nel descrivere la velocità dell'asse geometrico del cilindro in funzione della distanza da un punto arbitrario del piano può essere che l'asse geometrico effettua un moto roto-traslatorio: 1) nel sistema di riferimento relativo con origine nel centro O del cilindro che è fermo in questo sistema, l'asse geometrico ruota attorno all'asse del cilindro per O 2) nel sistema di riferimento fisso diciamo inerziale si sposta verso il basso con la stessa velocità del centro O. Quantitativamente
1)Siamo d'accordo che il CM del cilindro dista da O della quantità . Inizialmente è perpendicolare all'asse geometrico e tale rimane nella rotazione che è determinata dalla legge di Newton se è il momento di inerzia e è l'angolo di cui è ruotato rispetto alla posizione iniziale che era verso l'alto. Ovvero . Moltiplicando ambo i membri per e semplificando si ottiene ovvero integrandoovvero .
è la velocità angolare di rotazione dell'asse geometrico attorno al suo centro O, è diretta lungo l'asse del cilindro ed è una funzione periodica così come l'energia cinetica che si trasforma in potenziale e viceversa in questo sistema. Il suo modulo aumenta mentre il cilindro rotola senza strisciare sul piano inclinato. Infatti
2) Il momento del peso (M+m)g rispetto all'asse istantaneo di rotazione per il punto di contatto cilindro-piano inclinato è sempre positivo in senso orario anche se varia in intensità fra un miinimo ed un massimo. Ciò significa che l'accelerazione angolare del moto del cilindro lungo il piano è sempre positiva e quindi la velocità di O e del CM lungo il piano è crescente come . Il tratto percorso lungo il piano da O e dal CM sarà . Se la quota di O all'inizio era h+r dopo questo tratto sarà h'+r con h-h'= . E' possibile allora esprimere v in funzione di h' come chiede il quesito dato che h' rappresenta la distanza da un punto arbitrario del piano:quella fra O centro dell'asse geometrico e il piede della perpendicolare(arbitrario, dipendente da ) da esso condotta al piano orizzontale.
Si può applicare il principio di conservazione dell'energia, dato che il testo evidenzia che l'attrito volvente è trascurabile, fra l'inizio a quota h+r+ e la quota h'+r+.
Dovrà essere dove
per le parti traslatoria e ruotante e
sempre per le parti traslatoria e ruotante.
Ricavando dalle due relazioni prima e poi v mi risulta

Questa mi pare la relazione che esprime la velocità traslatoria dell'asse geometrico in funzione di h' o se si volesse, vista la relazione di h' con h e , in funzione di medesimo. Questaè la mia interpretazione del complicato e oscuro testo. :?: :?: :?:

P.S. Quanto tempo ho impiegato con il latex non digerito!

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