273: Gas di dipoli magnetici

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Luca Milanese
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273: Gas di dipoli magnetici

Messaggio da Luca Milanese » 21 set 2021, 21:13

È dato un sistema di dipoli magnetici indipendenti alla temperatura e immersi in un campo magnetico esterno uniforme e costante . I dipoli sono quantizzati: il momento di dipolo lungo di ciascuno può assumere valore o .
a) Si determini qual è il valore medio dell'energia totale del sistema;
b) Per temperature molto grandi (quantificare cosa ciò voglia dire), qual è la capacità termica del sistema?
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DeoGratias
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Re: 273: Gas di dipoli magnetici

Messaggio da DeoGratias » 28 set 2021, 22:20

Visto che i dipoli magnetici sono indipendenti, la loro energia dipenderà solo dal loro orientamento rispetto al campo: supponiamo ce ne siano controallineati e allineati; l'energia del sistema sarà , con .
Per la distribuzione di Boltzmann, la densità di probabilità che il sistema abbia energia è , dove è una costante. Per determinarla, la somma sui valori discreti di deve essere 1:
, dove .
Conoscendo il risultato della serie geometrica, si ottiene .
L'energia media sarà:

Per trovare , riscriviamola come:

Sfruttando questo risultato, ottengo


Per trovare , si deve avere ; molto elevata presumo significhi , così da poter espandere attorno a ; in questo modo otterrei
Seguirebbe che

Luca Milanese
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Re: 273: Gas di dipoli magnetici

Messaggio da Luca Milanese » 29 set 2021, 21:03

Credo che tu abbia inteso male il senso della legge di Boltzmann: ad essere proporzionale a è la probabilità che il sistema si trovi in ciascuno dei microstati con tale energia, quindi se, come nel nostro caso, ciascuna energia può essere ottenuta in più modi, non è vero che il sistema ha energia con tale probabilità. Piuttosto ti consiglio di ragionare sui singoli dipoli: puoi determinare qual è il rapporto fra numero di dipoli orientati in un senso e numero di quelli orientati in senso opposto? Inoltre si può supporre .
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Luca Milanese
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Re: 273: Gas di dipoli magnetici

Messaggio da Luca Milanese » 4 ott 2021, 18:48

Hint: ciascun dipolo può trovarsi in soli due stati: in uno dei due ha energia , nell'altro . La probabilità che si trovi nell'uno o nell'altro stato è data dalla legge di Boltzmann. Da qui si può ricavare il numero di dipoli presenti in media in ciascun orientamento e dedurne l'energia totale del sistema.
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DeoGratias
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Re: 273: Gas di dipoli magnetici

Messaggio da DeoGratias » 6 ott 2021, 21:55

Se ho capito bene, ogni dipolo ha probabilità di essere allineato col campo e di essere controallineato. Visto che , il rapporto tra il numero di quelli allineati e di quelli controallineati è . Visto che il numero totale di dipoli si conserva, quelli controallineati sono , gli allineati sono . L'energia totale sarebbe quindi

La capacità termica sarebbe . Supponendo , espandendo con Taylor attorno a diventa

Quindi .

Da qui, visto che è molto grande, quindi :?:

Luca Milanese
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Re: 273: Gas di dipoli magnetici

Messaggio da Luca Milanese » 6 ott 2021, 22:47

Sì esatto! Vai pure col prossimo :D
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