Provo una dimostrazione:
Consideriamo un insieme di
particelle nello spazio: lo stato del sistema sarà descritto da
coordinate
, 3 per ogni particella, corrispondenti alla sua posizione. Se due particelle vengono collegate con un segmento rigido, i gradi di libertà del sistema diminuiscono di 1: lo stato delle altre
particelle rimane invariato, mentre i gradi di libertà della coppia passano da essere 6 a 5, visto che la posizione di una rispetto all'altra è univocamente determinata da due variabili
e
(
rimane costante). Quindi, se collego i vari punti con
segmenti rigidi, i gradi di libertà del sistema saranno
. Il poliedro è rigido se ha 6 gradi di libertà (3 per la posizione spaziale, 1 per l'inclinazione rispetto all'asse verticale, 1 per la rotazione attorno all'asse verticale e 1 per la rotazione attorno a se stesso), quindi il numero minimo di segmenti necessari per creare un poliedro rigido è
.
1) Un poliedro con sole facce triangolari è rigido
Siano
,
,
l'insieme dei vertici, degli spigoli e delle facce di un poliedro a facce triangolari. Due facce avranno in comune uno spigolo, perciò si avrà
. Infatti, consideriamo l'insieme
, dove
è uno spigolo di
. Per double-counting, si avrà
. Visto che la caratteristica di Eulero del poliedro è 2,
, quindi
. Per quanto detto prima, un poliedro a facce triangolari sarà quindi rigido.
2) Un poliedro rigido ha sole facce triangolari
Supponiamo per assurdo che esista un poliedro rigido con almeno una faccia non triangolare e
vertici. Collegando i vertici del poligono non triangolare alternatamente (es. il primo col terzo, il terzo col quinto e così via) è possibile dividere della faccia in triangoli aggiungendo degli spigoli. Aggiungere spigoli non altera la rigidità del sistema, quindi il poliedro sarà ancora rigido anche dopo l'aggiunta. Tuttavia ciò è assurdo; infatti, per quanto visto sopra un poliedro a facce triangolari ha il numero minimo di spigoli necessari per essere rigido; anche il poliedro dopo l'aggiunta ha il numero minimo di spigoli necessario per un poliedro a
vertici, ma togliendoli e tornando alla configurazione iniziale avremmo un altro poliedro ancora con
vertici, rigido ma con un numero di spigoli minore, assurdo. Quindi un poliedro rigido ha sole facce triangolari.