266-la goccia si stacca dalla ruota

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Leo
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266-la goccia si stacca dalla ruota

Messaggio da Leo » 1 ago 2021, 11:35

Una ruota di raggio R si muove di puro rotolamento su un terreno bagnato a velocità angolare . Ad un certo momento da un punto A, individuato dall'angolo che il raggio congiungente A con il centro forma con la verticale, si stacca una goccia d'acqua che cade dopo un certo tempo t esattamente nel punto di contatto che in quell'istante ha la ruota con il terreno.
Determinare: 1) il tempo t 2) il valore di in funzione di t

matteofisica
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Re: 266-la goccia si stacca dalla ruota

Messaggio da matteofisica » 1 ago 2021, 17:32

Intanto provo a scrivere qualche idea.

La velocità tangenziale del punto A quando la goccia si stacca è . Da quel momento in poi, la goccia procede di moto parabolico avente equazioni:



Detto alpha l'angolo che A forma con la verticale, , , e .

Da qui si dovrebbe ricavare t ponendo y=0, ma non so come usare il fatto che la goccia cada esattamente nel punto di contatto ruota-strada. :roll:
Forse dovrei invece trovare un'espressione per t dalla prima equazione del sistema? :?:
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Leo
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Re: 266-la goccia si stacca dalla ruota

Messaggio da Leo » 2 ago 2021, 17:39

Quello che hai scritto potrebbe andare. Puoi trovare t ma non in funzione di alfa....

matteofisica
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Re: 266-la goccia si stacca dalla ruota

Messaggio da matteofisica » 2 ago 2021, 18:20

Dunque, possiamo immaginare che, prima del distacco, la goccia si trovasse in cima alla ruota. Se così non è, possiamo comunque traslare verticalmente lo zero dell'energia potenziale di Fp in modo da far quadrare i conti.
Dato che sulla goccia agiscono solo forze conservative, abbiamo che .
Da qui, sapendo che e ricavando alpha, si ottiene .
E da qui sarei in grado di ricavare t senza aver bisogno di come ho scritto nel post precedente.
E' corretto? :?:
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Re: 266-la goccia si stacca dalla ruota

Messaggio da Leo » 3 ago 2021, 10:59

Sinceramente non posso sapere se è corretto. Per cui se come dici saresti in grado di...finisci il procedimento e trova il risultato! :D

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Re: 266-la goccia si stacca dalla ruota

Messaggio da matteofisica » 3 ago 2021, 14:59

Allora vediamo di concludere:
la distanza orizzontale percorsa dalla goccia nel tempo t è . Affinché sia soddisfatta la condizione che la goccia cada nel punto di appoggio della ruota, la distanza percorsa dalla ruota nello stesso tempo t deve essere .
Dunque, sostituendo e ricordando la condizione di rotolamento puro, si ottiene l'equazione

che dà come risultato .
Dato che, come scritto nel post precedente, , si ottiene un'espressione per t indipendente dall'angolo alpha:
, dove nell'ultimo passaggio ho usato l'identità fondamentale .

Se il procedimento è giusto e il risultato è corretto posso passare al secondo punto.
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Re: 266-la goccia si stacca dalla ruota

Messaggio da Leo » 4 ago 2021, 11:35

Il risultato non è corretto così come l'espressione di che per certi valori dei parametri potrebbe non essere in valore assoluto minore di 1. Almeno a me risulta infatti incomprensibile questa applicazione della conservazione dell'energia da cui discende il coseno: sembra che l'energia cinetica della goccia uguagli l'energia potenziale. Perchè?
Se vuoi un consiglio sii preciso nel sistema di riferimento cui intendi riferirti. Puoi porre l'origine nello stesso punto A e gli assi uno da sinistra a destra (orizzontale) e uno verso l'alto (verticale). Descrivi il moto della goccia-proiettile come sicuramente sai. Deve passare per il punto di contatto ruota-terreno che, rispetto al riferimento, ha coordinate precise. Puoi determinare , e t. Un metodo più brillante è quello di porsi in un sistema di riferimento in caduta libera con la goccia in cui essa viaggia con la sua velocità uniforme e il terreno si alza verso la goccia con accelerazione g... Si ottiene lo stesso valore di t e di :D

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Re: 266-la goccia si stacca dalla ruota

Messaggio da matteofisica » 4 ago 2021, 15:52

Allora, pongo l'origine del sistema di riferimento in A come suggerito; l'asse x lo metto nel verso sx-->dx, l'asse y dall'alto verso il basso, in modo da togliere un po' di segni meno. Le equazioni del moto parabolico diventano:



Il punto di contatto ha coordinate .
Ma adesso mi sorge un dubbio: l'ascissa del punto di contatto non dovrebbe variare nel tempo e corrispondere a quella del centro della ruota, che si muove di moto rettilineo uniforme? Altrimenti come fa la goccia a passare per il punto di contatto muovendosi in avanti lungo l'asse x?
Le coordinate al tempo t non dovrebbero essere :?:

Scusami per le domande, ma non mi sento fortissimo in dinamica rotazionale e mi sto impegnando molto per migliorare! :D
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Re: 266-la goccia si stacca dalla ruota

Messaggio da Leo » 5 ago 2021, 17:26

Prima di tutto l'ascissa del punto di contatto mi sembra positiva . Poi si ricava il tempo del contatto e.......dovresti trovare tutto. Forse ti dico troppo... :?:

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Re: 266-la goccia si stacca dalla ruota

Messaggio da matteofisica » 5 ago 2021, 19:18

Adesso ho capito! Io avevo considerato (sbagliando) che il punto A si trovasse a destra rispetto al centro della ruota e quindi al punto di contatto, mentre esso è a sinistra! Sarei dovuto arrivarci prima...
Comunque sia, riscrivo ancora una volta le formule del moto parabolico e le coordinate del punto di contatto, che, per la condizione di puro rotolamento, è fermo. Il sistema di riferimento è in posizione standard (verso dx e verso l'alto)


Combinando la prima e la terza trovo che .

Ora, conoscendo le identità e , combinando la seconda e la quarta equazione e operando le sostituzioni , si arriva ad una equazione di secondo grado in x che ha come unica soluzione accettabile (l'altra è x=0). Da qui, ricordando che , si giunge alla soluzione: .
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