Ho imbrogliato usando Mathematica ma posto lo stesso...
Si conserva l'energia: l'energia potenziale del gas iniziale e gravitazionale del masso, sommate, si conservano.
Si applica l'equazione dei gas perfetti sia alle due parti del gas all'inizio (che sono uguali quindi ci da' una sola equazione), che per entrambe le parti alla fine.
La somma delle forze sul pistone alla fine si conserva.
Non ci sono ovvie equazioni stile adiabatiche. Ce ne potrebbero essere di non ovvie se facessimo ipotesi sui tempi scala, ma Luca ha insistito che non servono.
Per l'energia potenziale uso il fatto che
. Chiamo
l'altezza iniziale del pistone (quindi il cilindro e' alto 2H),
la superficie del pistone,
la temperatura, pressione, moli di gas all'inizio nelle due parti,
l'altezza del pistone alla fine,
la temperatura alla fine (uguale sopra e sotto),
le pressioni.
Scrivendo quindi 4 equazioni nelle 4 incognite
:
Da cui si ricava facilmente (
ho imbrogliato senza pudore):
(C'e' un'altra soluzione che pero' corrisponde a
, che mi sembra poco fisica perche' e' strano che il peso si sposti verso l'alto, e per certi valori di
da' risultati insensati... Pero' avere un motivo piu' formale per escluderla per ogni valore di
mi piacerebbe di piu'; direi che e' equilibrio instabile perche' non c'e' modo che la forza sul pistone sia nulla se siamo piu' in alto che H...).
Prendendo il limite
viene
.
E' interessante che un peso infinito non possa comprimere il gas quanto si vuole... Cercavo una spiegazione intuitiva ma non ho niente di troppo soddisfacente. Si raggiunge pressione infinita non puntando ad un rapporto di volumi infinito, ma tenendo il rapporto di volumi (quasi) fisso e aumentando la temperatura all'infinito. Provando con valori diversi di calore specifico non trovo comunque un risultato qualitativamente diverso (a meno di valori senza senso, minori di 1).