Non penso di essere arrivato ad alcun risultato concreto, comunque provo a postare quello che ho provato.
Visto che il cilindro è isolato, l'energia totale del sistema (gas + potenziale grav.) si conserva.
Scegliamo un sistema di riferimento con x = 0 a metà del cilindro, e verso positivo diretto verso il basso.
L'energia interna dei due gas è
(visto che si hanno 2 volumi di gas, uno sopra e uno sotto).
La variazione di energia potenziale gravitazionale è
, dove
è la posizione finale del pistone nel nostro sistema di riferimento (visto che il verso è positivo verso il basso,
sarà positivo).
Visto che il pistone è a tenuta stagna e il sistema è termicamente isolato, i gas compiono trasformazioni adiabatiche, quindi (il pedice 1 indica il gas nella metà di sotto, il 2 quello di sopra)
e
, dove
e
, con
area del cilindro e
. L'energia finale dei due gas è data quindi da
.
Visto che l'energia totale si conserva,
Scrivendo
come
, espandendo al secondo ordine con Taylor si ottiene
, facendo la stessa cosa per
diventa
.
Quindi, dalla conservazione dell'energia si ottiene, semplificando, che
, quindi
.
Quello che mi fa pensare di aver sbagliato qualcosa è che
1) non ho mai avuto modo di usare l'assunzione che
sia molto grande
2) speravo che alla fine, semplificando, sarei riuscito a ottenere
in funzione di
, mentre invece mi torna in funzione di
, quindi non posso ottenere il volume finale... dove sto sbagliando???