260. Compressione di un gas.

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Luca Milanese
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Re: 260. Compressione di un gas.

Messaggio da Luca Milanese » 16 giu 2021, 14:13

Ero in attesa di altri tentativi di soluzione. Il problema resta irrisolto (Leo si è praticamente risposto da solo nell'ultimo messaggio), per cui se qualcuno vuole postare il 261 ben venga, magari tra qualche giorno pubblicherò la soluzione a questo problema (a meno che non venga risolto nel frattempo).
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Pigkappa
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Re: 260. Compressione di un gas.

Messaggio da Pigkappa » 16 giu 2021, 17:45

Comunque non mi pare giusto dare indicazioni come "molto grande", "abbastanza lungo", e chiedere al lettore di immaginarsi cosa vogliono dire. Ci devi dire tu qual e' il problema...

Il pistone lascia passare calore? Velocemente? Indovinerei di si' (Equivalentemente - conduttanza termica trascurabile)
Il peso e' molto maggiore della pressione iniziale del gas moltiplicata per la superficie del pistone?
La dimensione fisica del peso e' trascurabile rispetto all'altezza del cilindro?
La lunghezza della corda che lo appende al pistone e' trascurabile rispetto all'altezza del cilindro?
Se sono rispettivamente la potenza che la gravita' trasmette al pistone, la potenza che scorre tra le due parti del cilindro, la potenza dissipata tramite attrito tra pistone e pareti, e la potenza trasmessa all'esterno tramite le pareti del cilindro, vale ? E tu vuoi sapere il volume della parte di cilindro sotto il pistone quando e' diventata quasi 0, ma ancora no?
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Luca Milanese
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Re: 260. Compressione di un gas.

Messaggio da Luca Milanese » 16 giu 2021, 18:51

Pigkappa ha scritto:
16 giu 2021, 17:45
Comunque non mi pare giusto dare indicazioni come "molto grande", "abbastanza lungo", e chiedere al lettore di immaginarsi cosa vogliono dire. Ci devi dire tu qual e' il problema...
Il testo originale del problema, tratto dai Puzzling, recita " is very large". Mi sono limitato a tradurlo e a postarlo.
Pigkappa ha scritto:
16 giu 2021, 17:45
Il pistone lascia passare calore? Velocemente? Indovinerei di si' (Equivalentemente - conduttanza termica trascurabile)
Sì, il pistone lascia passare calore, come ho già precisato in una delle risposte precedenti. Non è importante quanto velocemente lo faccia, dato che si chiede la situazione "dopo un tempo abbastanza lungo".
Pigkappa ha scritto:
16 giu 2021, 17:45
Il peso e' molto maggiore della pressione iniziale del gas moltiplicata per la superficie del pistone?
Sì, e lo si capisce risolvendo il problema.
Pigkappa ha scritto:
16 giu 2021, 17:45
La dimensione fisica del peso e' trascurabile rispetto all'altezza del cilindro?
La lunghezza della corda che lo appende al pistone e' trascurabile rispetto all'altezza del cilindro?
1) Sì.
2) Sì. Equivalentemente si può immaginare che sul fondo della metà inferiore del cilindro sia presente un piccolo foro (che non lascia passare il gas) attraverso il quale la corda, abbastanza lunga, passa ed è attaccata al peso.
Pigkappa ha scritto:
16 giu 2021, 17:45
Se sono rispettivamente la potenza che la gravita' trasmette al pistone, la potenza che scorre tra le due parti del cilindro, la potenza dissipata tramite attrito tra pistone e pareti, e la potenza trasmessa all'esterno tramite le pareti del cilindro, vale ? E tu vuoi sapere il volume della parte di cilindro sotto il pistone quando e' diventata quasi 0, ma ancora no?
Ho scritto che il pistone scorre senza attrito e che il cilindro è termicamente isolato, perciò e sono entrambe nulle. Lo smorzamento delle oscillazioni è dovuto alla differenza di pressione fra le due parti del cilindro. La disuguaglianza fra e penso possa essere anche meno forte, ma in ogni caso questo non c'interessa in quanto il testo chiede il volume della metà sotto al pistone una volta raggiunto l'equilibrio (termico e dinamico), quando .
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Re: 260. Compressione di un gas.

Messaggio da Pigkappa » 16 giu 2021, 22:47

Ho imbrogliato usando Mathematica ma posto lo stesso...
Si conserva l'energia: l'energia potenziale del gas iniziale e gravitazionale del masso, sommate, si conservano.
Si applica l'equazione dei gas perfetti sia alle due parti del gas all'inizio (che sono uguali quindi ci da' una sola equazione), che per entrambe le parti alla fine.
La somma delle forze sul pistone alla fine si conserva.
Non ci sono ovvie equazioni stile adiabatiche. Ce ne potrebbero essere di non ovvie se facessimo ipotesi sui tempi scala, ma Luca ha insistito che non servono.

Per l'energia potenziale uso il fatto che . Chiamo l'altezza iniziale del pistone (quindi il cilindro e' alto 2H), la superficie del pistone, la temperatura, pressione, moli di gas all'inizio nelle due parti, l'altezza del pistone alla fine, la temperatura alla fine (uguale sopra e sotto), le pressioni.

Scrivendo quindi 4 equazioni nelle 4 incognite :




Da cui si ricava facilmente ( :lol: :lol: :lol: ho imbrogliato senza pudore):

(C'e' un'altra soluzione che pero' corrisponde a , che mi sembra poco fisica perche' e' strano che il peso si sposti verso l'alto, e per certi valori di da' risultati insensati... Pero' avere un motivo piu' formale per escluderla per ogni valore di mi piacerebbe di piu'; direi che e' equilibrio instabile perche' non c'e' modo che la forza sul pistone sia nulla se siamo piu' in alto che H...).
Prendendo il limite viene .

E' interessante che un peso infinito non possa comprimere il gas quanto si vuole... Cercavo una spiegazione intuitiva ma non ho niente di troppo soddisfacente. Si raggiunge pressione infinita non puntando ad un rapporto di volumi infinito, ma tenendo il rapporto di volumi (quasi) fisso e aumentando la temperatura all'infinito. Provando con valori diversi di calore specifico non trovo comunque un risultato qualitativamente diverso (a meno di valori senza senso, minori di 1).
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Re: 260. Compressione di un gas.

Messaggio da Luca Milanese » 16 giu 2021, 23:13

Attento... la tua quarta equazione dovrebbe essere . In ogni caso ti do la staffetta, la fisica del problema è stata detta. Se ti va, rifai i conti e posta il risultato corretto, altrimenti lo posterò io.
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Re: 260. Compressione di un gas.

Messaggio da Pigkappa » 17 giu 2021, 13:13

Hai ragione, cambiando le equazioni in quel modo:




Mi viene, chiamando

Che per da'

Appena posso posto il prossimo :)
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