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Una pallina, assimilabile a una particella, si muove sul piano $xy$ con velocità $v(t)$ e accelerazione $a(t)$ . Dimostrare che il modulo della velocità $v$ può essere costante solo quando $a_xv_x+a_yv_y=0$ .
[Questo semplice problema, che compensa la difficoltà dei precedenti, è tratto dall Halliday - Fisica 1]

Il modulo della velocita e'

$\lvert\vec{v}\rvert=\sqrt{v^2_x(t)+v^2_y(t)}$

dove $v_x$ e $v_y$ sono le componenti della velocita secondo un sistema di riferimento Cartesiano.
Il modulo e' costante quando la derivata temporale e' zero. Quindi

$\frac{d}{dt}\lvert\vec{v}\rvert=\frac{1}{2\sqrt{v^2_x(t)+v^2_y(t)}}\left(2v_x\dot{v_x}+2v_y\dot{v_y}\right)=0$

La derivata della velocita e' l'accelerazione

$\dot{v_x}=a_x \hspace{3 mm}\dot{v_y}=a_y$

quindi

$a_xv_x+a_yv_y=0$

In una riga e senza andare in coordinate:

$\vec v \cdot \vec a = \vec v \cdot \frac{d \vec v}{dt} = \frac{1}{2} \frac{d(\vec v \cdot \vec v)}{dt} = \frac{1}{2} \frac{d v^2}{dt} = 0$

Ein Bonner ha scritto: ↑17 mag 2021, 9:43 Il modulo della velocita e'

$\lvert\vec{v}\rvert=\sqrt{v^2_x(t)+v^2_y(t)}$

dove $v_x$ e $v_y$ sono le componenti della velocita secondo un sistema di riferimento Cartesiano.
Il modulo e' costante quando la derivata temporale e' zero. Quindi

$\frac{d}{dt}\lvert\vec{v}\rvert=\frac{1}{2\sqrt{v^2_x(t)+v^2_y(t)}}\left(2v_x\dot{v_x}+2v_y\dot{v_y}\right)=0$

La derivata della velocita e' l'accelerazione

$\dot{v_x}=a_x \hspace{3 mm}\dot{v_y}=a_y$

quindi

$a_xv_x+a_yv_y=0$

Direi che è tutto corretto, il testimone è tuo

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258 - pallina in movimento

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