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Re: Oscillazioni di una cella d'aria.
Inviato: 20 mag 2021, 11:17
da Leo
Ho smesso di pensare alla questione che come era chiaro non serviva alla soluzione. Riprendo il mio discorso dal post precedente. Sviluppando in serie
intorno a
risulta allora
. In
la condizione di equilibrio (stabile) impone, come ho detto nel precedente post, che la spinta di Archimede uguagli il peso della celletta cioè
dove v è il volume della celletta ed m la sua massa. Pertanto applicando la seconda legge intorno a
risulta
eliminando +mg con -mg. Dividendo per m e portando al primo membro si ottiene l'equazione di un moto armonico intorno a
cioè
. Da questa mi risulterebbe
e dunque
. Ma i miei conti a prescindere dal procedimento...
Re: Oscillazioni di una cella d'aria.
Inviato: 20 mag 2021, 11:26
da Luca Milanese
Hai assunto che il volume della cella rimanga costante nelle sue oscillazioni, sei sicuro che ciò possa consistere col suo isolamento termico?
Re: Oscillazioni di una cella d'aria.
Inviato: 20 mag 2021, 17:57
da Leo
Infatti ho compiuto un errore di calcolo ma forse anche di concetto. Avevo pensato che
e
per cui da
avevo dedotto
e
poichè pensavo che praticamente
. Però se non è così non so per ora come fare.
Re: Oscillazioni di una cella d'aria.
Inviato: 20 mag 2021, 18:31
da Luca Milanese
L'errore sta nel fatto che, mentre la cella si sposta, la sua densità non è la stessa dell'atmosfera alla stessa quota (tranne ovviamente in
). Invece è giusto, poichè la cella è termicamente isolata, imporre in essa la conservazione di
, come stavi facendo scrivendo
Ti manca solo un passaggio prima di arrivare alla soluzione
Re: Oscillazioni di una cella d'aria.
Inviato: 21 mag 2021, 10:13
da Leo
Sono d'accordo che
della cella non è quello dell'atmosfera. Ma penso che invece la pressione della cella alla quota z sia quella dell'atmosfera a quella quota. Se questo non è sbagliato per trovare
della cella mi viene la potenza
di
che non so da due giorni come trattare
Forse sbaglio a sviluppare prima l'esponenziale in serie. Se l'ipotesi sulla pressione è giusta svilupperò con l'esponenziale sviluppandolo in serie solo alla fine. Mi pare che su
ci sia un fattore 2/7 in più...
Re: Oscillazioni di una cella d'aria.
Inviato: 21 mag 2021, 13:09
da Luca Milanese
Giusta l'osservazione sulla pressione e giusto il fattore
. A questo punto ti direi di postare il procedimento completo
Re: Oscillazioni di una cella d'aria.
Inviato: 22 mag 2021, 11:28
da Leo
Per l'isolamento termico della cella e riferendoci ad essa deve valere
e dalle relazioni del primo post si ottiene
. La spinta di Archimede con la densità dell'atmosfera e il volume V(z) della cella vale allora
essendo
.
Riprendendo allora l'equazione del moto del post precedente, dopo aver sviluppato in serie l'ultimo esponenziale, essendo
, elidendo +mg con -mg e dividendo per m
da cui emerge
e quindi
Re: Oscillazioni di una cella d'aria.
Inviato: 22 mag 2021, 15:34
da Luca Milanese
Corretto!
Re: Oscillazioni di una cella d'aria.
Inviato: 15 mar 2022, 16:52
da Luca Milanese
Riapro questo thread per proporre un bonus.
Supponiamo stavolta che l'atmosfera sia in equilibrio meccanico ma non termodinamico, cioè
è una funzione generica (ovunque positiva). Trovare, in funzione dei parametri del problema originale e di
, il periodo di oscillazione di una cella che all'equilibrio si trova a quota
. Qual è la condizione su
affinché non ci sia convezione (cioè, affinché piccoli spostamenti di una cella diano luogo a piccole oscillazioni)?
Re: Oscillazioni di una cella d'aria.
Inviato: 24 mar 2022, 1:31
da DeoGratias
Sia
il numero di moli nella cella d'aria,
il suo spessore,
l'area di base,
la sua quota. Dalla condizione di equilibrio si ha
. Dalla legge dei gas perfetti
, quindi
Visto che la cella non scambia calore con l'esterno, se la pressione interna varia di
, allora lo spessore diventerà
Quando la cella si sposta di
,
, quindi dopo lo spostamento infinitesimo lo spessore sarà
Esprimendo la forza peso agente sulla cella in funzione della pressione come sopra, si ottiene che la forza netta è
Otteniamo quindi
Sfruttando la condizione di equilibrio si ha
Inserendo questo nell'espressione precedente si ottiene infine
, quindi non si ha mai convezione se e solo se