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Si consideri un'atmosfera isoterma $T(z)=T_0$ e composta di un gas perfetto biatomico di massa molare $\mu$ , la cui pressione e la cui densità al livello del mare siano $p_0$ e $\rho_0$ . È presente un campo gravitazionale uniforme $\vec g$ e il gas è in condizione di equilibrio idrostatico. Supponiamo ora di avere una "cella d'aria", cioè una piccola porzione dell'atmosfera isolata termicamente dall'aria circostante, che può muoversi in essa senza alterarne i parametri. Supponiamo che la posizione di equilibrio della cella sia a una quota $z_0$ . Qual è il periodo delle piccole oscillazioni di questa cella attorno a $z_0$ ?

Come è facile capire se si conosce il problema, mi sono fatto questa domanda dopo aver letto il problema 2 della Gara Teorica della Nazionale di quest'anno (purtroppo, dopo la gara

).

Finita la vicenda 257 mi sono messo a guardare il tuo solito tosto problema. Mi servono chiarimenti sul testo. Si parla di equilibrio idrostatico. La densità dell'atmosfera terrestre decresce con l'altezza insieme alla temperatura. In questo caso siccome l'atmosfera è isoterma vuol dire che la densità dell'atmosfera è costante e uguale a $\rho_0$ quella a z=0 del livello del mare? Mi pare poi che la trasformazione adiabatica della cella possa comprendere lo stato a livello del mare perchè essendo a $T_0$ non avrebbe scambi termici con l'atmosfera. Infine la densità della cella a $z_0$ deve coincidere con quella atmosferica alla stessa quota a causa dell'equilibrio cioè spinta Archimede= peso cella?

Leo ha scritto: ↑16 mag 2021, 10:46 In questo caso siccome l'atmosfera è isoterma vuol dire che la densità dell'atmosfera è costante e uguale a $\rho_0$ quella a z=0 del livello del mare?

No, la densità dell'aria nell'atmosfera varia con l'altezza benché la temperatura sia uniforme, e puoi trovare analiticamente tale dipendenza $\rho(z)$ .

Leo ha scritto: ↑16 mag 2021, 10:46 Mi pare poi che la trasformazione adiabatica della cella possa comprendere lo stato a livello del mare perchè essendo a $T_0$ non avrebbe scambi termici con l'atmosfera.

Non sono sicuro di capire cosa intendi, però sicuramente una cella d'aria, nel suo moto oscillatorio, potrebbe anche raggiungere quota $z=0$ (o quasi), purché ovviamente la sua posizione di equilibrio non sia troppo più in alto (dato che stiamo parlando di piccole oscillazioni).

Leo ha scritto: ↑16 mag 2021, 10:46 Infine la densità della cella a $z_0$ deve coincidere con quella atmosferica alla stessa quota a causa dell'equilibrio cioè spinta Archimede= peso cella?

Esattamente. Una cella nella sua posizione di equilibrio è praticamente indistinta dall'aria circostante. Peraltro questo ragionamento dovrebbe suggerirti un modo per rispondere alla tua prima domanda.

Ti ringrazio dei chiarimenti. Però non credo che la celletta nella posizione di equilibrio sia indistinta dall'atmosfera. La temperatura ad esempio essendo isolata termicamente è $T_0$ ? Eppure a me verrebbe a causa dell'equilibrio che anche la temperatura della cella a $z_0$ è $T_0$

Sì, quando la celletta è nella posizione di equilibrio la sua temperatura è $T_0$ .

Per il calcolo di $\rho(z)$ dell'atmosfera intorno all'equilibrio ho trovato un procedimento con logaritmi ed esponenziali ma in cui non compare l'equazione adiabatica della cella. E' inutile che lo posti vero?

Con $\rho(z)$ ti riferisci alla densità dell'aria nella cella o a quella dell'aria esterna? Nel secondo caso è perfettamente sensato che non compaiano i processi adiabatici della cella, dato che il movimento di questa praticamente non influenza l'aria circostante. Nel primo caso, invece, ti consiglio di ripensarci. Posta comunque il tuo procedimento.

Mi riferivo si all'atmosfera nei dintorni di $z_0$ dove avvengono le oscillazioni. Due premesse sono: 1) la posizione della cella è di equilibrio stabile perchè se oscilla verso il basso aumentano densità e forza di Archimede che la riportano dov'era, analogamente se oscilla verso l'alto diminuisce la spinta e prevale il suo peso mg che la riporta dov'era 2) considerando una massa di atmosfera uguale a quella della celletta seguono per l'atmosfera queste uguaglianze $(p_0/\rho_0)= [p(z)/\rho(z)] = [p(z_0)/\rho_(z_0)]=[RT_0/\mu]$ . L'ultima riguarderebbe anche la celletta dato l'equilibrio e la stessa m. Allora considerando z molto vicino a $z_0$ si dovrebbe ottenere $[p(z)-p(z_0)]= [RT_0/\mu][\rho(z)-\rho(z_0)]$ e dunque per z tendente a $z_0$ si deduce $(dp/dz)= [RT_0/\mu](d\rho/dz)$ . D'altra parte è sempre vero che $dp=-\rho(z).g.dz, (dp/dz)=-\rho(z).g$ per cui si può arrivare all'equazione differenziale $[d\rho/\rho(z)] = - [\mu.g/RT_0]dz$ che integrata fra $\rho(z_0) e \rho(z)$ e fra $z_0 e z$ mi dovrebbe dare $\rho(z)=\rho(z_0).exp[-(\mu.g/RT_0).(z-z_0)]$ . Sviluppando l'exp in serie fino al primo ordine mi pareva di ottenere $\rho(z)= circa \rho(z_0)[1-(\mu.g/RT_0)(z-z_0)]$ . Secondo me applicando la seconda equazione della dinamica $m.d^2x/dt^2=...$ viene un moto armonico da cui $\omega^2 e T$ . Se il ragionamento è corretto concludo, sennò è inutile

Tutto giusto: la densità nell'atmosfera è $\rho(z)=\rho(z_0)e^{-\frac{\mu g(z-z_0)}{RT_0}}$ e per ricondursi al moto armonico bisogna utilizzare $F=ma$ . Continua così.

Come avevo accennato oltre a F=ma bisogna sviluppare in serie l'exp e ci rimanane $\rho(z_0)$ . Sono entrato in confusione perchè credo che vada determinato con $p_0 e \rho_0$ ma è da ieri che non mi torna. Probabilmente deve essere una bischerata che mi sfugge. Grazie comunque per il giudizio fino ad ora

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Oscillazioni di una cella d'aria.

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Re: Oscillazioni di una cella d'aria.

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