247. Tubo di gomma.

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PeterBorsa
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Re: 247. Tubo di gomma.

Messaggio da PeterBorsa » 10 apr 2021, 14:33

Innanzitutto, grazie mille per la risposta tempestiva ed esaustiva. Prese carta e penna e fatti un paio di disegni, dovrei aver capito il ragionamento, dato che era molto chiaro. Dato che, però, sono un novellino dell'analisi e delle approssimazioni fisiche, vorrei chiederti un paio di chiarimenti.
Sul primo, immagino tu abbia calcolato l'area infinitesimale della striscia considerata sfruttando il teorema della corda, che avrebbe dato , da cui, approssimando , si ha la formula da te proposta. Se, però, non avessimo usato la medesima approssimazione nel calcolo di , nel cercare i due seni si sarebbero semplificati ugualmente. Volevo appunto chiederti se tu avessi approssimato per comodità tua o se io mi stia perdendo qualcosa e, quindi, la semplificazione di cui parlo non esista.
Sul secondo, credo sia altrettanto chiaro e ben spiegato, ma ho un dubbio nel calcolo di . Mi sono messo a fare i calcoli (che non riporto, perché sono lentissimo :lol: ) e, per ottenere la formula finale, ho dovuto fare quella che mi sembra una ben giustificata "approssimazione" ; è corretto? (So che una cavolata immane e non dovrei chiederla, ma io e gli infinitesimi non andiamo molto d'accordo). Concludo ringraziandoti per la prima risposta e, anticipatamente, per la eventuale seconda.

Luca Milanese
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Re: 247. Tubo di gomma.

Messaggio da Luca Milanese » 10 apr 2021, 14:45

Nel calcolo dell'area ho usato perchè mi stavo riferendo all'area che si ottiene seguendo la curvatura del cilindro. In ogni caso credo sia corretto anche fare il calcolo con il teorema della corda, perchè, come tu stesso facevi notare, abbiamo per , e certamente è lecito operare questa "semplificazione" se abbiamo a che fare con quantità infinitesimali. Diciamo che il vantaggio del lavorare con gli infinitesimi è proprio questo, si può praticamente sempre ridurre le espressioni al primo ordine nella quantità infinitesima.
Per il calcolo di : sì, se vuoi puoi vederla in questo modo, ma più direttamente puoi ricordare che , e quindi .
Non preoccuparti di aver posto la domanda, all'inizio è sempre faticoso capire come si lavora con gli infinitesimi. :lol:

PeterBorsa
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Re: 247. Tubo di gomma.

Messaggio da PeterBorsa » 10 apr 2021, 14:49

Giusto, mi sono complicato la vita, ti ringrazio :D .

Gamow00
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Re: 247. Tubo di gomma.

Messaggio da Gamow00 » 10 apr 2021, 18:27

PeterBorsa ha scritto:
10 apr 2021, 14:33
per ottenere la formula finale, ho dovuto fare quella che mi sembra una ben giustificata "approssimazione" ; è corretto?
In generale, diciamo che puoi uccidere un termine in una espressione se rappresenta un infinitesimo di ordine maggiore degli altri. Ad esempio, immagina di dover calcolare la variazione infinitesima rispetto a della quantità :


Nell'ultima espressione, posso eliminare il termine in quanto gli altri termini sono nell'ordine di .
Quindi . Nota che questo risultato è quello che avremmo ottenuto facendo la derivata rispetto a di . Spero che ti possa essere utile ;)
Sapere aude ;)

PeterBorsa
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Re: 247. Tubo di gomma.

Messaggio da PeterBorsa » 14 apr 2021, 16:28

Gamow00 ha scritto:
10 apr 2021, 18:27
PeterBorsa ha scritto:
10 apr 2021, 14:33
per ottenere la formula finale, ho dovuto fare quella che mi sembra una ben giustificata "approssimazione" ; è corretto?
In generale, diciamo che puoi uccidere un termine in una espressione se rappresenta un infinitesimo di ordine maggiore degli altri. Ad esempio, immagina di dover calcolare la variazione infinitesima rispetto a della quantità :


Nell'ultima espressione, posso eliminare il termine in quanto gli altri termini sono nell'ordine di .
Quindi . Nota che questo risultato è quello che avremmo ottenuto facendo la derivata rispetto a di . Spero che ti possa essere utile ;)
Super utile e chiaro , ti ringrazio!

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