Questo problema è davvero bellissimo
Rispondo al punto b) generalizzando al caso in cui l'angolo
fra le due piastre sia
, con
.
Per comodità, essendo le piastre "molto estese" e
, tratterò la barra come un filo infinito con densità di carica lineica
e le piastre come due semipiani. Si consideri un prisma a base
-gonale il cui asse di simmetria giaccia sulla stessa retta cui appartiene la linea di intersezione tra le due piastre e orientato in modo che uno dei suoi spigoli coincida con la barra. Si costruiscano altri fili infiniti sugli altri spigoli, di carica alternata
, con funzione di cariche immagine. Si noti che tutti questi fili aggiuntivi si trovano nella parte di spazio delimitata dai duei semipiani delle piastre non contenente la barra, dove sappiamo già che il potenziale elettrico vale
: questa condizione è necessaria quando si aggiungono delle cariche immagine in un problema di elettrostatica.
Si osservi inoltre che le
cariche totali (la sbarra e i fili immagine) formano, rispetto a ciascuno dei due piani delle piastre, delle coppie simmetriche con segno opposto: per quanto già visto nel punto a), e applicando il principio di sovrapposizione, si ha anche in questo caso che il potenziale elettrico è uniforme e nullo su entrambe le piastre. Dunque la distribuzione descritta è quella corretta.
Ora si numerino da
a
le coppie di cariche immagine simmetriche rispetto al piano di simmetria delle due piastre (i due fili immagine più vicini alla barra, con densità
, formano la coppia
, i due fili successivi con densità
la coppia
, e così via). Indico con
la forza netta (diretta lungo il piano di simmetria) esercitata da ciascuna coppia sulla barra. Tramite il teorema dei seni si ricava la distanza tra la barra e i fili della coppia
esima:
Mentre, usando il teorema dell'angolo alla circonferenza, l'angolo fra il piano di simmetria del sistema e quello congiungere barra e uno dei due fili della coppia
-esima vale
Si ricava dunque l'espressione di
, tenendo conto dei segni delle cariche:
Resta da considerare la forza dovuta al filo immagine che è simmetrico alla barra rispetto alla linea da congiunzione fra piastre:
Sommando tutte le forze si ottiene il risultato voluto, indipendente da
:
Dove il segno meno indica che la forza tende ad attrarre la barra verso le piastre.