Ci sono due lunghi cilindri coassiali conduttori, di raggio e con , l'asse è rivolto verso z e lo spazio tra i cilindri è vuoto.
Il primo ha conduttività , il secondo ha conduttività infinità sulla superficie esterna. Nel cilindro interno c'è una densità di corrente mantenuta costante e uniforme.
Trovare la densità superficiale sulla superficie esterna del cilindro di raggio , prendendo come origine la metà della lunghezza del cilindro.
236. Cilindri Coassiali
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Re: 236. Cilindri Coassiali
Per definizione di conduttività, il campo elettrico nel cilindro interno vale:
.
Pertanto il potenziale elettrico nel cilindro interno non è uniforme: ponendone lo zero a , vale infatti:
Sempre dall'espressione di si deduce che, data l'assenza di una componente radiale, il flusso su una qualunque superficie gaussiana interna al cilindro stesso è nulla, perciò è in esso presente anche una densità di carica stazionaria uniforme che annulla localmente la carica portata da . Da ciò segue che il campo elettrico nello spazio vuoto tra i due cilindri dipende solo dalla densità di carica superficiale . Sia la sua componente radiale.
La superficie del conduttore di raggio è equipotenziale, e sulla sua superficie esterna la conduttività è infinita, dunque lì è nullo il campo elettrico e il suo potenziale è lo stesso dell'infinito, cioè zero. Dunque per ogni vale:
Da qui si ricava che è proporzionale a , cioè e:
Inoltre, applicando il Teorema di Coulomb alla superficie del cilindro interno, si ottiene:
Dove è la densità di carica lineica del cilindro interno. Il contributo di un tratto in posizione del cilindro interno a è:
Poichè il cilindro è molto lungo, per ottenere integro in da a :
Pertanto , e dunque:
E si conclude che:
.
Pertanto il potenziale elettrico nel cilindro interno non è uniforme: ponendone lo zero a , vale infatti:
Sempre dall'espressione di si deduce che, data l'assenza di una componente radiale, il flusso su una qualunque superficie gaussiana interna al cilindro stesso è nulla, perciò è in esso presente anche una densità di carica stazionaria uniforme che annulla localmente la carica portata da . Da ciò segue che il campo elettrico nello spazio vuoto tra i due cilindri dipende solo dalla densità di carica superficiale . Sia la sua componente radiale.
La superficie del conduttore di raggio è equipotenziale, e sulla sua superficie esterna la conduttività è infinita, dunque lì è nullo il campo elettrico e il suo potenziale è lo stesso dell'infinito, cioè zero. Dunque per ogni vale:
Da qui si ricava che è proporzionale a , cioè e:
Inoltre, applicando il Teorema di Coulomb alla superficie del cilindro interno, si ottiene:
Dove è la densità di carica lineica del cilindro interno. Il contributo di un tratto in posizione del cilindro interno a è:
Poichè il cilindro è molto lungo, per ottenere integro in da a :
Pertanto , e dunque:
E si conclude che:
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Re: 236. Cilindri Coassiali
Ok, tutto perfetto. La staffetta è tua