234. Carica immagine

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east_beast
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234. Carica immagine

Messaggio da east_beast » 12 set 2020, 18:53

Un conduttore ha la forma di un piano infinito in cui un disco di raggio è sostituito dalla superficie della semisfera di uguale raggio.
La superficie del conduttore è collegata a terra e una carica puntiforme è posta ad una distanza sopra il centro della semisfera, con .
Determinare in quali punti della superficie del conduttore la densità superficiale di carica indotta è massima e calcolare il valore del massimo.

Luca Milanese
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Re: 234. Carica immagine

Messaggio da Luca Milanese » 15 set 2020, 12:11

Come suggerisce il titolo, il modo migliore per affrontare questo problema è il metodo delle cariche immagine.
Fisso un sistema di assi cartesiani tale che il piano conduttore abbia equazione e che la carica si trovi in . Grazie ai teoremi di unicità dell'elettrostatica, se riesco a trovare una distribuzione di cariche (fittizie) tale che il potenziale dovuto a esse e alla carica soddisfi la condizione sull'intera superficie del conduttore (in quanto è collegato a terra), allora il potenziale elettrico nella parte di spazio vuota sarà proprio .
Introduco pertanto tre cariche immagine: in , in e in . Scrivo l'espressione del potenziale:

Per , la superfice del conduttore è descritta da , , mentre per l'equazione della superficie è . Inserendo la prima condizione in , il primo termine si cancella con il quarto e il secondo col terzo, inserendo la seconda invece il primo termine si elide col secondo e il terzo col quarto, dunque , e costituiscono la distribuzione cercata.
L'espressione ovviamente vale solo per il potenziale elettrico sulla superficie del conduttore e nello spazio ad esso esterno, in quanto all'interno è noto che .
La densità di carica indotta avrà modulo massimo nel punto del conduttore più vicino a , cioè . Per trovarla, ricorro al Teorema di Coulomb:

Dove è la densità superficiale di carica, è la differenza fra il campo elettrico appena fuori e appena dentro il conduttore, e è il versore normale alla superficie e uscente.
In è . Il campo elettrico appena dentro il conduttore è identicamente nullo, mentre quello appena fuori si trova facilmente conoscendo la posizione delle quattro cariche oppure applicando l'operatore gradiente a :

Quindi:

Riporto anche, per chi fosse interessato, il mio risultato per su tutta la superficie del conduttore:
Valid Facts and Theoretical Understanding Generate Solutions to Hard Problems

east_beast
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Re: 234. Carica immagine

Messaggio da east_beast » 15 set 2020, 19:45

Perfetto! :D
Tua la staffetta!

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