229. Sfera radiante

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Luca Milanese
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229. Sfera radiante

Messaggio da Luca Milanese » 17 ago 2020, 16:32

All’interno di una sfera di raggio e conducibilità termica viene prodotto calore in modo omogeneo. Il calore prodotto per unità di volume e unità di tempo vale .
La sfera è immersa in uno spazio vuoto allo zero assoluto nel quale irraggia come un corpo nero. Calcolare la temperatura all’interno del corpo all’equilibrio.
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Leonhard Euler
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Re: 229. Sfera radiante

Messaggio da Leonhard Euler » 17 ago 2020, 18:37

Si vuole determinare una funzione che misuri la temperatura all'interno della sfera a distanza dal centro. L'equazione del calore di Fourier per una sfera si scrive come:

All'equilibrio il flusso di calore condotto deve essere uguale al flusso di calore generato omogeneamente nel volume:

Basta integrare:

Il problema sinceramente non mi sembra più complesso di così...

Luca Milanese
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Re: 229. Sfera radiante

Messaggio da Luca Milanese » 17 ago 2020, 18:47

Il tuo risultato non è corretto, guarda bene cosa succede a .
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Leonhard Euler
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Re: 229. Sfera radiante

Messaggio da Leonhard Euler » 17 ago 2020, 19:03

Accade che la Temperatura sulla superficie coincide con la temperatura esterna, forse non ho considerato per bene l’irraggiamento e ci si aspetta che la sfera abbia una temperatura esterna non nulla (e che si tratti quindi di una stella)?

Luca Milanese
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Re: 229. Sfera radiante

Messaggio da Luca Milanese » 17 ago 2020, 19:05

Sì l'irraggiamento va considerato.
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Pigkappa
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Re: 229. Sfera radiante

Messaggio da Pigkappa » 17 ago 2020, 19:09

Non ci ho pensato a fondo ma quell'equazione del calore senza derivate seconde mi sembra sospetta.
"Per un laser, si passa da temperature positive a temperature negative non passando attraverso 0 K, ma passando attraverso l'infinito!" (cit.)
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east_beast
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Re: 229. Sfera radiante

Messaggio da east_beast » 17 ago 2020, 19:15

L'integrale di Euler è leggermente sbagliato, infatti dovrebbe venire
Dove T(R) è la temperatura superficiale. Siccome il calore prodotto al centro all'equilibrio viene interamente irraggiato, , ricavando T(R) ottengo

Luca Milanese
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Re: 229. Sfera radiante

Messaggio da Luca Milanese » 17 ago 2020, 19:26

@east beast
Corretto! A te il testimone, vai pure col 230! :D
@Pigkappa
Non è sospetta, Leonhard ed east beast hanno evitato le derivate seconde ragionando direttamente sul calore prodotto entro un certo raggio , come se avessero saltato uno step di integrazione.
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Pigkappa
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Re: 229. Sfera radiante

Messaggio da Pigkappa » 17 ago 2020, 19:36

Ah ok, quella che di solito si chiama equazione del calore è in un'altra forma ma va bene così. Nel caso di calore generato in modo uniforme comunque questo metodo funziona bene
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