Urto fra una pallina e un sistema massa-molla
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Leonhard Euler
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Urto fra una pallina e un sistema massa-molla
Una palla di massa 
è attaccata ad una molla di costante elastica 
e lunghezza a riposo 
. Una seconda palla di massa 
e velocità iniziale 
colpisce la molla.
Per quanto tempo la seconda palla rimane a contatto con la molla?
Quanto vale la distanza minima delle due masse?
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Luca Milanese
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Re: Urto fra una pallina e un sistema massa-molla
Fisso un sistema di riferimento cartesiano in cui le due masse e la molla si trovano lungo l'asse delle ascisse. La massa si trova in 
, la massa è in 
. L'asse è orientato in modo che sia 
. Finchè la seconda massa è a contatto con la molla, su di essa agisce una forza ])
, essendo 
la lunghezza della molla. Su agisce la reazione ])
. Scrivendo la seconda legge di Newton per entrambe le masse:
] \\
m_2 \ddot x_2 =k[(x_1-x_2)-l_0] \\
\end{cases})
Moltiplico la prima equazione per e la seconda per , poi le sottraggo:
=k[l_0-(x_1-x_2)](m_1+m_2))
.
Ora pongo
la distanza fra le due masse e 
la massa ridotta del sistema:
)
.
La soluzione di questa differenziale è una funzione della forma:=A\sin(\omega t) + B \cos (\omega t) + C)
Da cui:
=\omega [A \cos (\omega t) - B \sin (\omega t)])
 =-\omega^2 [A \sin (\omega t)+B \cos (\omega t)])
Imponendo che soddisfi l'equazione, si ricava
e 
. Le costanti 
e 
sono determinate dalle condizioni iniziali:
=l_0 \Rightarrow B+l_0=l_0 \Rightarrow B=0)
=\dot x_1(0) - \dot x_2(0)=0-v=-v \Rightarrow -v=\omega A \Rightarrow A =-\frac{v}{\omega}=-v \sqrt{\frac{\mu}{k}})
Quindi:
=-v\sqrt{\frac{\mu}{k}} \sin \bigg(\sqrt{\frac{k}{\mu}}t \bigg)+l_0)
Pertanto la massa si stacca dopo un tempo 
(tempo che passa dall'inizio a quando 
torna a valere ), e la minima distanza raggiunta fra le due masse è 
.
Moltiplico la prima equazione per
Ora pongo
La soluzione di questa differenziale è una funzione della forma:
Da cui:
Imponendo che soddisfi l'equazione, si ricava
Quindi:
Pertanto la massa
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Luca Milanese
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Re: Urto fra una pallina e un sistema massa-molla
Per curiosità, da dove hai preso il problema?
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Leonhard Euler
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Re: Urto fra una pallina e un sistema massa-molla
Tratto da un SNS orale del 2015, ti invito a risolvere anche l'altro problema (più complesso a mio parere).