204. Nuotata nel fiume

[east_beast]

Vi trovate davanti ad un fiume, la cui acqua scorre alla velocità costante di 2 m/s, e siete in un punto A.
Volete attraversarlo, arrivando in B, trovandovi alla stessa altezza del fiume ma sull'altra sponda. (ossia AB è perpendicolare allo scorrere del fiume).
Il problema è che sapete nuotare solo fino a 1 m/s di velocità, e siete quasi certi di non riuscire ad arrivare perfettamente in B, ma presumibilmente vi ritroverete a distanza d da B.
Trovare la minima distanza d in funzione della larghezza del fiume, che è L.
Bonus: Quanto dovrebbe essere la velocità della vostra nuotata affinché possiate arrivare esattamente in B, ossia d=0?

[Luca Milanese]

Probabilmente è scontato, ma... la velocità di nuotata 1 m/s è relativa all'acqua?

[east_beast]

Si, non avevo specificato.

[bosone]

A me risulterebbe d= , imponendo che il vettore risultante dalla somma vettoriale della velocità dell'acqua e la mia formi l'angolo maggiore possibile con la direzione del fiume ovvero dovrebbe essere tangente alla circonferenza avente come raggio la mia velocità. Tutte le velocità sono relative al sistema fisso con la riva secondo me.

[east_beast]

È corretto, per quanto riguarda la velocità intendevo che il nuotatore è in grado di nuotare a 1m/s indipendentemente dal fiume... quindi si, forse era giusto scrivere rispetto alla riva.
Spiega però come, a partire dal ragionamento che hai fatto, hai ottenuto proprio , poi puoi proseguire con il prossimo, oppure ancora meglio finisci con il bonus, che a questo punto non è difficile.

[bosone]

Sono nel punto A. Considero il di modulo 2 (m/s) nel verso della corrente del fiume (asse x). La mia velocità che ha modulo 1 può avere qualunque direzione a partire dal secondo estremo di e dunque il suo secondo estremo giace in un punto della circonferenza con centro in questo secondo estremo e raggio 1. Abbiamo insomma due lati di un triangolo uno metà dell'altro. L'atro sarà cioè il risultante delle due velocità. Una nota proprietà geometrica asserisce che l'angolo opposto al lato minore (che è quello formato da con ) è massimo (ed è quello che vogliamo affinchè d sia minima) quando l'angolo formato da con il lato minore è retto. Pertanto deve essere perpendicolare a ovvero deve essere tangente alla circonferenza di raggio v. La congiungente il centro con il punto di tangenza è ovviamente . Sia ora D il punto dell'altra sponda dove punta . Il triangolo delle tre velocità è palesemente simile al triangolo ABD. Dalla similitudine si può scrivere che il modulo di =: BD=1:L, da cui BD= d= . Nel caso che ritieni corretto questo devo provare il bonus che non vedo così immediato. Ci devo pensare e se tu vuoi decidere altrimenti per la staffetta se qualcuno avesse la soluzione del bonus non me ne avrò a male...

[east_beast]

Corretto! Al momento la staffetta è tua, prova il bonus (ovviamente chiunque voglia aggiungersi che lo faccia).
Non ho la soluzione per il bonus, mi sono fatto una mia idea però, che mi sembra sensata ma sicuramente non è una verità assoluta, ed è bene discutere.

[Luca Milanese]

A me è venuta in mente un'idea che però è molto probabilmente sbagliata. Affinchè , è necessario e sufficiente che la componente della velocità della nostra nuotata parallela al fiume abbia verso opposto a quella della velocità di scorrimento dell'acqua, cioè . A questo punto, per arrivare all'altra sponda in un tempo finito basta che sia . Per cui ci basta che la nostra velocità sia maggiore di . Può funzionare?

[east_beast]

è la stessa idea che ho avuto io; penso sia corretta, ora che ricevo la tua conferma. Aspettiamo le opinioni di qualcun'altro magari, se ha qualcosa di meglio da proporre..

[bosone]

Si anch'io penso che il problema abbia infinite soluzioni. Basta che v>2 m/s sia l'ipotenusa di un triangolo rettangolo in cui sia l'altro cateto insomma se è l'angolo acuto formato da v con si abbia .