199. Traiettorie che si incontrano

[east_beast]

Le traiettorie di due corpi che si muovono con velocità costante (non relativistica) sono parallele in un certo sistema di riferimento inerziale.
a) è possibile scegliere un altro SdR inerziale nel quale le due traiettorie si incrociano (non sono parallele insomma)?
b) Se tale sistema può essere trovato, e i corpi hanno determinate condizioni iniziali, allora potrebbero raggiungere il punto di incidenza tra le traiettorie nello stesso tempo. Come può aver senso, considerato che nel primo SdR inerziale queste erano parallele?

[Luca Milanese]

a) Siano ed i due sistemi inerziali. Nel primo, posso assumere, senza perdita di generalità, che le due velocità e siano entrambe parallele all'asse (in questo modo semplifico i conti), cioè e . Assumo inoltre che al tempo i due corpi e si trovino rispettivamente alle posizioni e . Ora passiamo al sistema , il quale, essendo anch'esso inerziale, si muove con una velocità costante rispetto a . Le nuove velocità sono allora e . Le direzioni della traiettorie, essendo le velocità costanti, sono date dalle direzioni di queste ultime, quindi affinchè le traiettorie non siano parallele è sufficiente che non lo siano e . Dato che due vettori sono paralleli solo se il loro prodotto vettoriale è nullo, calcolo e lo pongo diverso da :


.
Quindi e e non entrambi nulli.
Tuttavia, dato che siamo in 3D, secondo me "incrociarsi", che interpreto come "avere un punto in comune", per le traiettorie non è semplicemente implicato da "non essere parallele". Scrivo allora le posizioni dei due corpi in in funzione del tempo:

e

Eliminando si ottengono le equazioni delle traiettorie:
e
Per cui, se esistono tali che esista un punto che soddisfi entrambe le equazioni, allora le traiettorie si incrociano. I conti mi sono parsi parecchio brutti, quindi spero che basti questa risposta.
b) Ritornando alle leggi orarie scritte sopra, affinchè i due oggetti raggiungano il punto di incidenza contemporaneamente deve essere:

Che ci dà , . Dalla prima relazione, capiamo che, in come in , i due oggetti si muovono lungo la stessa retta, per cui possono incontrarsi benché le traiettorie siano parallele (coincidenti). Ora distinguo alcuni casi nella seconda relazione:
1) . Allora semplicemente i due corpi si muovono assieme.
2) . Allora i due corpi si muovono mantenendo costante la loro distamza relativa, e non si incontrano mai.
3) . Allora i due corpi si incontrano a .

[east_beast]

Ok hai distrutto il problema, è durato molto meno di quel che pensassi . Il punto b) giustissimo, per il punto a) invece i calcoli non sono così brutte, dato che il problema passa dalle 3 alle 2 dimensioni, se noti che essendo le traiettorie parallele il moto è un moto piano... (so che poi puoi scegliere un sistema di riferimento che si muove anche con una componente , ma prova così)

[Luca Milanese]

Ok allora vedo di concludere.
Abbiamo , . Le equazioni delle traiettorie diventano:
, . Risolvendo ottengo , . Però noto che nulla mi vieta di scegliere anche , e allora posso semplificare ancora rimanendo con , .
Le espressioni ottenute riconfermano che deve essere e .

[east_beast]

Ottimo, vai col prossimo!