179. Attrito atipico

[Luca Milanese]

Spero che, essendo passati varî mesi ormai dal 178, si possa proporre liberamente un altro problema per la staffetta.

Un piano inclinato di lunghezza , inclinato di un angolo rispetto all'orizzontale, è seguito da una rampa a forma di quarto di circonferenza, con la concavità rivolta verso il piano stesso, avente raggio uguale all'altezza del piano inclinato, in modo tale che vi sia continuità fra le due superfici. Sulla rampa non si ha attrito, sul piano invece il coefficiente di attrito dinamico varia secondo la legge , dove è una costante e è la distanza lungo il piano dalla sua sommità. Un corpo di massa è lasciato andare lungo il piano dalla sua cima. Trovare la forza normale esercitata dalla rampa sul corpo nel momento in cui esso si ferma.

[bosone]

Durante la discesa del piano inclinato mi verrebbe l'equazione del moto armonico non omogenea essendo la massa soggetta alla forza costante della componente del peso e a quella negativa di attrito dipendente dalla lunghezza percorsa in funzione di x di piano inclinata. Ho trovato che la soluzione è la somma della soluzione generale cioè del moto armonico dipendente da due costanti determinabili imponendo che per t=0 sia la lunghezza percorsa che la velocità siano nulle e di quella particolare banale. Si trova la velocità dopo 7,5 metri e quindi l'altezza a cui arriva nell'arco. Al momento in cui si ferma la velocità e le forza centripeta sono nulle. Quindi dovrebbe essere nulla anche N che in questo caso è la differenza fra la forza centripeta e la componente radiale del peso.
Se sono sulla buona strada posto il procedimento altrimenti ci ripenserò.

[Luca Milanese]

Sei sulla buona strada, ma non viene nulla, poichè nulla non è la componente radiale del peso.

[bosone]

E' molto più importante per me la tua osservazione che il procedimento tecnico da postare. Infatti ho scambiato in maniera banale la differenza con la somma come invece avevo scritto nei miei appunti e nella figura che avevo fatto. Su questa base N=mg cos dove con indico l'angolo minore di 90° a cui si ferma. Mi pareva tuttavia che se questa era l'unica domanda si poteva rispondere senza alcun altro procedimento sull'equazione del moto che avevo descritto nel post precedente.

[Luca Milanese]

L'angolo di cui parli si determina, come stavi facendo, trovando l'altezza raggiunta dalla pallina sulla rampa. Quest'altezza si può trovare come stavi facendo tu, trovando la velocità della pallina ai piedi del piano inclinato, ma c'è anche un modo leggermente più veloce, nel senso che evita i calcoli derivanti dell'equazione del moto. In ogni caso, sì, alla fine nel problema chiedo solo (e quindi l'angolo).

[bosone]

Forse si può calcolare il lavoro della forza di attrito togliendolo dall'energia potenziale iniziale mgh=37,5 J e ottenendo così l'energia potenziale dell'arrivo senza equazione del moto e relativi calcoli. (Fra l'altro avevo visto nel web come si risolve quell'equazione differenziale del secondo ordine non omogenea perchè non ho dimestichezza con questa matematica). Pongo . Detta la lunghezza percorsa in funzione di , essendo e considerando la componente normale dell forza peso di 10 N, mi risulterebbe una forza di attrito . Integrando fra 0 e 7,5 m si ottiene il lavoro negativo compiuto dalla forza di attrito come
. Pertanto detta h' l'altezza a cui si ferma sulla circonferenza abbiamo mgh'=37,5-11,8=25,7 J e quindi h'=2,57m. Essendo allora h-h'=1,18 m, il coseno dell'angolo al centro sotteso è .Quindi se non ho sbagliato i conti e/o il procedimento

[Luca Milanese]

Il procedimento mi sembra giusto (usare l'energia era il metodo "leggermente più veloce" che intendevo), però mi sembra che tu abbia confuso l'angolo d'inclinazione del piano (se quel che compare all'inizio è un seno di 30). Secondo i miei calcoli, la pallina si ferma più in basso di quanto abbia ottenuto tu.

[bosone]

Dunque mi scuso con te ma non capisco la tua osservazione sul significato del testo. Il piano inclinato forma un angolo di 30°con il piano orizzontale. Il piano che contiene la sommità è parallelo all'orizzontale e quindi forma lo stesso angolo di 30° con il piano inclinato. Il cateto x del triangolo rettangolo di ipotenusa, cateto che rappresenta la distanza dalla sommità del punto del piano inclinato estremo di , è opposto a 30°e quindi è metà di stessa come ho scritto. Allora il coefficiente di attrito, pari a 0,1 x= 0,1(1/2). Poi va moltiplicato per mgcos30°= 10.1,73:2= 8,65 e torna come forza di attrito 0,1.0,5.8,65= 0,43 Sinceramente non capisco dove sto sbagliando Ti prego di dirmi dove questo conto, che ho voluto fare in dettaglio, non è corretto e.....scusa ancora.

[Luca Milanese]

Probabilmente mi ero spiegato male io nel testo dell'esercizio. Quando ho scritto che ", dove [...] è la distanza lungo il piano dalla sua sommità.", intendevo lungo il piano inclinato. Pertanto, se, come ho capito, tu con indichi la lunghezza del tratto di piano inclinato, si ha proprio che , perchè quello che tu hai chiamato coincide con quello che avevo chiamato . In conclusione, .

[bosone]

Si ho perseverato nel dare quell'interpretazione perchè fin dal primo post dove ricorreva mi hai detto anche tu che ero sulla buona strada.. Comunque allora la forza di attrito viene doppia della mia e dunque viena effettuato il doppio del lavoro dissipativo e rimane meno energia a disposizione di m che pertanto sale a quota più bassa come dici tu...e tutto torna