Cannone con più attriti

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Luca Milanese
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Cannone con più attriti

Messaggio da Luca Milanese » 25 set 2019, 19:27

Un cannone di massa montato su ruote spara una palla di massa con velocità iniziale rispetto al sistema di riferimento del terreno. Assumendo che le ruote non striscino sin da subito (con coefficiente d'attrito statico ) e che la resistenza dell'aria dipenda linearmente dalla velocità (con coefficiente ), si determini la distanza percorsa dal cannone ed il tempo impiegato.
P.S. Il problema è own, fatemi sapere se vi è piaciuto ;) .

Neutrino
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Re: Cannone con più attriti

Messaggio da Neutrino » 6 mar 2020, 20:47

Mi fai capire meglio il problema?
1) è orizzontale?
2) che le ruote non striscino "fin da subito" vuol dire che non strisciano mai? cioè hanno sempre un moto di rotolamento puro rispetto al suolo?
3) la massa delle ruote è trascurabile?

Luca Milanese
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Re: Cannone con più attriti

Messaggio da Luca Milanese » 6 mar 2020, 23:01

1) sì;
2) esatto (in effetti ho scritto parecchio male);
3) sì (puoi considerarla inclusa nella massa del cannone).

Neutrino
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Re: Cannone con più attriti

Messaggio da Neutrino » 7 mar 2020, 1:04

OK

Durante lo sparo le forze orizzontali non impulsive (attriti) sono trascurabili, quindi si conserva la quantità di moto orizzontale del sistema cannone+proiettile. Scelto un asse x orizzontale con l'origine coincidente col centro di massa del cannone al momento dello sparo e verso opposto a quello della velocità del proiettile, per il cannone ha una velocità iniziale su x che vale

Successivamente l'equazione del moto per il cannone è:

1)

Risolviamo la 1) per il tempo di arresto:







Risolviamo la 1) per la distanza di arresto:











La forza di attrito statico tra ruote e suolo vale zero. Infatti essa è l'unica forza che esercita momento meccanico sulle ruote (ammesso che queste abbiano dei buoni cuscinetti a sfera sull'asse). Essendo se le ruote hanno massa trascurabile sarà approssimabile a zero il loro momento d'inerzia, e quindi il momento meccanico agente su di esse e quindi la forza di attrito statico. Questo è indipendente dal coefficiente di attrito.

Luca Milanese
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Re: Cannone con più attriti

Messaggio da Luca Milanese » 7 mar 2020, 11:25

Purtroppo quel che dici è falso. Infatti, l'attrito statico non solo è presente, ma è anche necessario affinché il moto sia di rotolamento puro. In questo problema (che a dire il vero ho formulato parecchio male), però, puoi trascurarne il momento torcente, ma non puoi non considerarlo nell'equazione del moto lungo l'asse x. Inoltre (cosa che avrei dovuto dire nel testo dell'esercizio) puoi assumere che esso valga il suo valore massimo .

Neutrino
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Re: Cannone con più attriti

Messaggio da Neutrino » 7 mar 2020, 11:40

Pensaci meglio e vedrai che mi darai ragione. Comunque se vuoi un attrito è meglio mettere il cannone su una slitta invece che sulle ruote.

Luca Milanese
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Re: Cannone con più attriti

Messaggio da Luca Milanese » 7 mar 2020, 12:02

Sulla slitta hai perfettamente ragione. Tuttavia, ripeto che, in generale, quando c'è rotolamento puro c'è attrito statico. Altrimenti, perchè le ruote dovrebbero girare invece che procedere slittando?

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Re: Cannone con più attriti

Messaggio da Neutrino » 7 mar 2020, 13:56

Dunque, non basta avere rotolamento perché ci sia una forza d'attrito statico, occorrono anche una accelerazione angolare diversa da zero ed un momento d'inerzia diverso da zero. Inoltre l'attrito statico non si può mai assumere uguale a se non nella condizione particolare che si ha nel limite tra strisciamento e non strisciamento. Ho scritto la soluzione dando una massa m alle ruote e dimostrato che se m tende a zero l'equazione del moto è quella che ho scritto e risolto in precedenza. La posto come immagine perché servono le figure dei diagrammi di corpo libero:

Immagine

Luca Milanese
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Re: Cannone con più attriti

Messaggio da Luca Milanese » 7 mar 2020, 14:11

Ok hai ragione. Il mio errore è stato non considerare ciò che succedeva per trascurabile. Ormai penso sia chiaro che prima parlavo dell'attrito statico nel caso generale in cui il momento d'inerzia non sia quasi nullo o proprio uguale a , e che in effetti quando ho proposto il problema qualche mese fa avrei fatto meglio, come hai detto tu, a mettere il cannone su una slitta (e quindi far valere l'attrito dinamico). Ti ringrazio per avermi fatto capire il mio errore e ti invito, se ti va, a risolvere il problema riformulato come qui sopra (con la slitta).

Neutrino
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Re: Cannone con più attriti

Messaggio da Neutrino » 7 mar 2020, 18:49

Va bene… il procedimento è lo stesso ma ora i calcoli si complicano un po’. Scriviamo l’equazione del moto con l’attrito dinamico , vale ancora :

1)

Risolviamo la 1) per il tempo di arresto:









Risolviamo la 1) per la distanza di arresto:









E quindi, grazie al grande fratello Wolfram che sa integrare meglio di me:





E allora qualunque attrito dovremmo averlo sistemato, a meno di errori di battitura. Ora però complichiamo ancora un po' l'esercizio... Bisogna trovare la velocità del cannone subito dopo lo sparo se la canna del cannone non è orizzontale ma è inclinata di un angolo rispetto all'orizzontale, nei seguenti casi:

1) è il modulo della velocità del proiettile non rispetto al suolo ma rispetto al cannone (questo mi è riuscito)

2) è il modulo della velocità del proiettile rispetto al suolo (questo ci sto lavorando ma ancora non mi è riuscito)

Che ne dici?
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