178. Radiazione di fondo di neutrini

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GabriManga
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178. Radiazione di fondo di neutrini

Messaggio da GabriManga » 20 lug 2019, 18:21

Oltre alla radiazione cosmica di fondo di fotoni ne è presente una di neutrini, ad una temperatura effettiva .
Stimare la densità di neutrini ed antineutrini per metro cubo.



I neutrini sono Fermioni: obbediscono al principio di indeterminazione di Pauli. Non è possibile che due occupino lo stesso stato quantico: si può dimostrare che la distribuzione del numero medio di stati occupati da neutrini di energia è . Si tratta della statistica di Fermi-Dirac, dove il potenziale chimico è nullo (per curiosità, è dovuto al fatto che coppie neutrino-antineutrino venivano create liberamente e quindi il numero totale considerato non è fisso). Un esempio di distribuzione più familiare è quella di Maxwell-Boltzmann.

Qui una distribuzione nello spazio delle fasi formato da posizioni e quantità di moto è una funzione tale che è il numero di punti all'interno dell'elemento di volume centrato in (con naturale cambio di notazione). Non si tratta di infinitesimi, ma elementi di volume e (questo nello spazio delle quantità di moto) finiti che contengono un grande numero di molecole pur essendo "puntiformi" rispetto a dimensioni macroscopiche.
Approssimiamo quindi la sommatoria sui vari elementi di volume in cui è diviso lo spazio delle fasi con .
Si può dimostrare (l'ho presente nel caso della radiazione di corpo nero) che l'elemento unidimensionale contiene stati, con . Purtroppo di solito non viene data alcuna giustificazione del fattore se non dimensionale (anche perché la suddivisione dello spazio delle fasi in elementi di volumi ha una certa arbitrarietà, vedi paragrafo precedente).


Assumere che i neutrini abbiamo massa trascurabile (quindi dalla relatività ) e che ne esistano tre specie.



P.S: dopo vari mesi era il momento di riportare in vita la staffetta con un'azione decisa, spero non dispiaccia :lol: .




Può essere utile sapere che . I primi termini sono sufficienti per avvicinarsi molto al valore a cui converge nel caso del problema.

Bonus: dimostrare quest'identità (nonostante le apparenze non è difficile!).






nicarepo
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Re: 178. Radiazione di fondo di neutrini

Messaggio da nicarepo » 31 lug 2019, 13:36

Perdona la domanda ingenua, ma si può risolvere in modo elementare (fisica del liceo e un po' di ingegno) o serve qualche conoscenza in più?

GabriManga
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Re: 178. Radiazione di fondo di neutrini

Messaggio da GabriManga » 2 ago 2019, 23:11

A prima vista non sembra, ma leggendo con calma sono fornite le nozioni che servono per permettere anche a uno studente del liceo che conosca un minimo di analisi di risolverlo.
Non è facile, però c'è solo da collegare i vari pezzi tra loro e contare quanti sono gli stati con (...)
Per partire conviene scegliere la quantità di moto come variabile rispetto cui integrare.

Non abbiate paura di sbagliare su concetti con cui non siete ancora famigliari: questo problema è pensato per introdurli.

Triforce127
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Re: 178. Radiazione di fondo di neutrini

Messaggio da Triforce127 » 26 ago 2019, 16:17

La funzione è il numero di particelle contenute nell'elemento di volume nello spazio delle fasi; essa equivale quindi al numero di stati totali contenuti in questo elemento di volume per il numero medio di particelle per stato. Il numero di stati totali nell'elemento di volume è , poichè ogni elemento unidimensionale contribuisce con stati; il numero medio di particelle per stato è semplicemente . Poichè tutti gli stati nell'elemento di volume hanno stessa energia, si ha , con e .
A questo punto per trovare il numero di particelle totali per metro cubo basta integrare per un volume e per tutte le possibili quantità di moto, visto che non ci interessa la velocità delle particelle ma solo che esse siano all'interno del metro cubo.
Si ha quindi . Passando a coordinate sferiche .
Si ottiene così particelle (ho utilizzato wolfram alpha per il valore numerico della somma, anche se essendo a segni alterni bastano pochi termini per una buona approssimazione). Infine, visto che ci sono tre specie di neutrini (e di conseguenza anche di antineutrini) la densità di neutrini e antineutrini a metro cubo è particelle.

GabriManga
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Iscritto il: 3 set 2018, 18:53

Re: 178. Radiazione di fondo di neutrini

Messaggio da GabriManga » 1 set 2019, 20:57

Bravo, la staffetta è tua!
Un modo intuitivo di giustificare l'elemento di volume in coordinate sferiche in questo caso è che stai contando (nel volume V) gli stati tra |p| e |p+dp|, cioé in un guscio sferico di volume (4*pi*|p|^2*dp).

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