Il gatto e il topo

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harimoto98
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Il gatto e il topo

Messaggio da harimoto98 » 29 mag 2019, 10:08

Tom vuole prendere Jerry che si trova in una pozzanghera di forma approssimabile ad una circonferenza. Jerry nella terra è più veloce di Tom e riesce a sfuggirgli, però nuotando nella pozzanghera è 4 volte più lento di Tom . Tom non vuole bagnarsi le zampe e vuole catturare Jerry appena arrivato a terra. In questo modo Tom si muove solo sul bordo della pozzanghera mentre Jerry può muoversi liberamente all’interno di essa. Riuscirà Jerry a scappare? Se sì, qual è l’angolo formato tra il raggio che indica la posizione di Tom e quello che indica la posizione di Jerry?
Qual è la velocità minima che deve avere tom in funzione di quella di jerry per catturarlo?
[Si supponga che Jerry parta dal centro della pozzanghera, e che tutti e due siano adimensionali]

Ilgatto
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Re: Il gatto e il topo

Messaggio da Ilgatto » 30 mag 2019, 17:38

Per comodità inizio supponendo che il raggio della pozza sia e le velocità di Tom e Jerry siano e (posso ricondurmi a questo caso con un'omotetia e una dilatazione/contrazione temporale)

Con questa tecnica Jerry è in grado di sfuggire a Tom:
  • Jerry si porta a distanza dal centro. Se il segmento TomJerry contiene il centro, proseguo al punto 3, altrimenti seguo la procedura al punto 2
  • Jerry può ruotare intorno al centro con la stessa velocità angolare di Tom, infatti va a velocità lineare pari a un quarto di quella del gatto, ma è a una distanza volte minore dal centro. Volendo, può avvicinarsi di pochissimo al centro e ruotare finchè il segmento TomJerry non contiene il centro. Questo è possibile poichè ora che si è avvicinato ha una velocità angolare superiore.
  • Ora Jerry parte in direzione opposta a Tom e lo semina. Infatti Jerry percorre lo spazio che lo separa dal bordo in , mentre Tom deve percorrere tutta la semicirconferenza impiegandoci , cioè arrivando in ritardo.
L'angolo tra i due sarà quindi radianti (si ricava da una semplice proporzione). Volendo questo angolo può essere portato a scegliendo come momento dello scatto di Jerry quello in cui l'angolo Tom-centro-Jerry vale radianti (a dir la verità si può ottenere qualsiasi angolo tra questi due valori adeguando il momento dello scatto).

Da questo ragionamento ricavo che la velocità minima di Tom è , ovvero quella per cui il Jerry dopo avere usato la mia strategia in modo ottimale arriva ad essere per un istante nello stesso punto di Tom. Su questa velocità sono in dubbio in quanto non sono sicuro che questa strategia sia la migliore, ma non ne vedo altre.

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