Problema sul piano inclinato

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harimoto98
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Problema sul piano inclinato

Messaggio da harimoto98 » 22 apr 2019, 21:25

Buona Pasqua a tutti!
Scusate il disturbo con questo problema, spero che potrete darmi una mano a risolverlo.
Ieri stavo giusto pensando al piano inclinato ed a come un oggetto posto su di esso si muova di moto uniformemente accelerato, che dipende dall'angolo di inclinazione del piano stesso. Ho pensato di poter generalizzare la cosa ad una curva qualsiasi. Se prendiamo una curva possiamo ottenere il coefficiente angolare in un suo punto passando per la derivata prima. Ho pensato quindi di considerare il tratto di una curva come composto da tanti segmenti di diversa inclinazione e considerare gli stessi come tanti piani inclinati.
Quindi mi stavo chiedendo se procedendo in questo modo si potesse ottenere un'equazione per calcolare il tempo per percorrere un percorso di lunghezza nota.
Purtroppo non ho idea di come andare avanti.
Ho trovato un 'espressione dell'accelerazione per un punto qualsiasi del piano:

a(x)=gsin(arctan(f'x))

Ora come posso trovare l'equazione per calcolare il tempo?
Se il piano fosse solo uno per ricavare il tempo potrei operare di questo modo:
S=1/2at^2 da cui t=sqrt((2s)/a)

Pero in questo caso i piani sono infiniti, stavo pensando che si potrebbe fare la somma di tutti i tempi infinitesi per trovare il tempo totale, passando per un'integrale che non so come impostare.
Ho provato anche a impostare una ode ma non ho risolto nulla.
Fatemi sapere cosa ne pensate.

Ilgatto
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Re: Problema sul piano inclinato

Messaggio da Ilgatto » 27 apr 2019, 14:46

Purtroppo la formula che vuoi usare per trovare il tempo è sbagliata. Pensa solo al caso in cui la velocità iniziale sia diversa da 0: lo spazio non è più proporzionale al quadrato del tempo.

Puoi trovare la componente orizzontale dell'accelerazione in ogni punto x. Adesso puoi trovarti tramite una ODE (che generalmente verrà brutta) una relazione tra la variazione della posizione x e il tempo. Conoscendo la funzione della curva sei in grado di calcolare la lunghezza di un suo tratto con l'apposita formula e dunque dovresti riuscire a trovare una correlazione tra distanza percorsa lungo la curva e tempo.

Altrimenti puoi sfruttare la conservazione dell'energia e trovare la velocità in ogni punto della curva e approssimare la curva in quel punto a una spezzata con coefficiente angolare la derivata prima. Ora dovresti fare la somma integrale dei singoli tempi considerando i vari pezzi come percorsi a velocità costante.

Ti direi che il primo metodo è molto contoso e brutto, quindi potrebbe venire molto brutto se la funzione non è miracolosamente studiata per eliminare arcotangenti e seni vari. Il secondo sembrava meno contoso mentre lo scrivevo e presumo sia più fattibile.

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