177: esplosione coulombiana

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Gamow00
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177: esplosione coulombiana

Messaggio da Gamow00 » 11 mar 2019, 21:09

Una nube sferica di raggio e carica totale contiene particelle ( come piace a me), ciascuna di carica . Al tempo , la densità di carica della nube è uniforme. Inoltre all'istante iniziale tutte le particelle sono ferme.
A causa della repulsione coulombiana, la nube inizia ad espandersi. Con indico la distanza dell'-esima particella dal centro della nube all'istante .
  • Dimostra che se per due particelle , allora per .
  • Dimostra che la densità di carica della nube rimane uniforme durante l'espansione.
EDIT: la densità del punto due ovviamente deve essere uniforme su tutta la sfera allo stesso istante di tempo, non costante come stupidamente avevo scritto.
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Dudin
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Re: 177: esplosione coulombiana

Messaggio da Dudin » 12 mar 2019, 16:06

punto a)

Per il teorema di Gauss il campo elettrico dentro la sfera e' proprio
E' proporzionale alla distanza di conseguenza se considero due particelle a distanza
la prima sarà soggetta ad un'accelerazione maggiore al tempo e quindi avrà una velocità maggiore.
Quindi visto che per simmetria il campo elettrico rimane radiale rifacendo lo stesso ragionamento ad ogni istante posso dire che

Gamow00
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Re: 177: esplosione coulombiana

Messaggio da Gamow00 » 12 mar 2019, 17:30

Buona la soluzione al punto a)

Dudin
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Re: 177: esplosione coulombiana

Messaggio da Dudin » 19 mar 2019, 20:28

punto b)
Per dimostrare che la densità di carica rimane costante considero il volume compreso tra due superfici sferiche di raggio e dimostro che ad ogni istante la densità di carica non dipende da ma soltanto dal tempo. (e da altri costanti)


ovviamente
Inoltre per il punto a) la carica compresa tra i due strati non varia ed e' proprio pari alla carica al tempo


Segue che


Non mi resta che trovare l'equazione del moto di una superficie sferica.
Per il punto a) dato che la carica dentro la superficie rimane la stessa (e considerando una particella di carica q e massa m sulla superficie della sfera considerata) posso dire che:

Non riesco a risolvere l'equazione differenziale però sicuramente sostituendo osservo che dipende da
che è proprio quello che ci interessa infatti nella funzione della densità si semplifica tutto e rimane solo una funzione che dipende da costanti e da una funzione in cui compare il tempo

e ovviamente sono sicuro che in o in non compare in nessun modo il raggio iniziale

edit credo che l'ultimo pezzo sia sbagliato perchè dovrei dimostrare anche che (altrimenti non posso raccogliere e semplificare) credo si possa fare perchè alla fine tutte le altre quantità in gioco non dipendono dalla distanza dal centro

Gamow00
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Re: 177: esplosione coulombiana

Messaggio da Gamow00 » 20 mar 2019, 20:51

Le idee ci sono tutte ma secondo me devi formalizzare un po' meglio.
Il mio consiglio è di prendere la differenziale e dire: se una certa funzione mi dice come si evolve un certo guscio, come si evolveranno gli altri?

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