171. Ruotando in una ruota

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sg_gamma
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171. Ruotando in una ruota

Messaggio da sg_gamma » 4 dic 2018, 16:28

Si consideri una circonferenza di raggio R che ruota senza strisciare a velocità angolare costante rimanendo sempre tangente internamente a una circonferenza di raggio 2R. Si determini il moto di un punto generico della circonferenza più piccola rispetto a un osservatore esterno.

Spätzle
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Re: 171. Ruotando in una ruota

Messaggio da Spätzle » 4 dic 2018, 18:51

Ma la circonferenza di raggio 2R è fissata o ruota?

sg_gamma
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Re: 171. Ruotando in una ruota

Messaggio da sg_gamma » 4 dic 2018, 19:03

Domanda legittima; ho dimenticato di specificare che la circonferenza grande è fissa nello spazio.

Spätzle
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Re: 171. Ruotando in una ruota

Messaggio da Spätzle » 4 dic 2018, 23:52

Allora credo che si abbia, ponendo quando la circonferenza piccola è "sul fondo" della grande,

,
detto l'angolo tra P ed il punto di tangenza rispetto al centro della circonferenza piccola quando , e posto il centro della circonferenza grande nell'origine degli assi. Se così fosse, potrebbe darsi che la traiettoria sia un diametro?

sg_gamma
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Re: 171. Ruotando in una ruota

Messaggio da sg_gamma » 6 dic 2018, 21:29

L'idea del diametro è interessante e ti invito a svilupparla per bene; ti consiglio anche di scegliere un riferimento intelligente per ottenere coordinate più "simpatiche".

Volendo BONUS (ma la soluzione, essendo di mia fattura, potrebbe essere errata...): Determinare il moto di un punto generico nel caso in cui la circonferenza di raggio R ruoti all'interno di una circonferenza di raggio kR con k>2.
EDIT: Pare che i grafici su Desmos diano risultati positivi in proposito, per le coordinate!

Spätzle
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Re: 171. Ruotando in una ruota

Messaggio da Spätzle » 7 dic 2018, 21:15

sg_gamma ha scritto:
6 dic 2018, 21:29
L'idea del diametro è interessante e ti invito a svilupparla per bene; ti consiglio anche di scegliere un riferimento intelligente per ottenere coordinate più "simpatiche".
Riguardo al sistema di riferimento, posso abbellire le coordinate considerando che è abbastanza inutile. Prendo gli assi cartesiani in modo che in valga . Segue . Allora si avrebbe

.
Così è evidente che si tratta sempre di un diametro: può infatti variare nell'intervallo .
sg_gamma ha scritto:
6 dic 2018, 21:29
EDIT: Pare che i grafici su Desmos diano risultati positivi in proposito, per le coordinate!
Ti riferisci alle mie coordinate? Oppure ho sbagliato qualche conto?

sg_gamma
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Re: 171. Ruotando in una ruota

Messaggio da sg_gamma » 8 dic 2018, 2:21

Con i grafici mi riferisco alle rappresentazioni dei vari casi (quindi alla soluzione del bonus). Comunque ti chiedo di postare i conti e da dove escono, in quanto c'è qualcosa che non torna (la scelta del riferimento è però quella giusta).

Spätzle
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Re: 171. Ruotando in una ruota

Messaggio da Spätzle » 8 dic 2018, 12:42

Io avevo fatto questo ragionamento:
Arco percorso dalla circonferenza piccola: . Dunque l'angolo corrispondente rispetto al centro della circonferenza grande si può trovare in questo modo: , da cui .
theta.png
theta.png (13.76 KiB) Visto 1007 volte
Posizione del centro della circonferenza piccola:


Se consideriamo un sistema di riferimento con gli assi paralleli a quelli del sistema di riferimento scelto, ma con origine nel centro della circonferenza piccola, vediamo che l'angolo tra P ed il punto di tangenza in un dato istante è , mentre l'angolo tra la verticale ed il punto di tangenza è . Dunque l'angolo tra la verticale e P è .
Segue che in questo sistema di riferimento "secondario" e .
Riportiamo queste coordinate nel sistema di riferimento "principale":

.
Mi ero dimenticato di dire che la circonferenza piccola gira con velocità angolare in senso orario, mentre percorre in senso antiorario la circonferenza grande...

La cosa può avere senso?

sg_gamma
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Re: 171. Ruotando in una ruota

Messaggio da sg_gamma » 8 dic 2018, 18:17

La soluzione è corretta! Non mi tornava perchè il dato del problema era la velocità angolare della circonferenza piccola rispetto a quella grande. Se ti va puoi risolvere il bonus (ti invito a graficare poi su Desmos con k intero, escono delle figure a mio avviso molto carine), ma in ogni caso il testimone è tuo.

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