Gas a temperatura variabile

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Schrodingers_Bat
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Gas a temperatura variabile

Messaggio da Schrodingers_Bat » 2 set 2018, 17:49

Un altro problema modello sns bello tosto:
Un gas è contenuto in un tubo cilindrico con asse orizzontale, e le sue estremità sono mantenute a temperature t1 e t2 diverse. Studiare lo stato del gas, e in particolare come varii la temperatura in funzione della distanza dalle estremità.
Io avevo pensato di spezzettare il gas in tanti volumetti dV tali che all'interno di un volumetto T si possa considerare costante. Ho intuito anche che il gas si addensa più vicino all'estremità più fredda, perché le molecole sono più lente. Solo che da qui non ne esco.

Peraltro: so che esiste una legge valida per i solidi che regola la conduzione di calore, del tipo , con la differenza di temperatura tra le estremità, l la distanza, A la sezione e k una costante. E' possibile estenderla anche a questo caso? Perché eventualmente sarebbe semplice (forse troppo) dire che il flusso di calore per unità di tempo è costante e che dunque l e sono direttamente proporzionali.

PG93
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Re: Gas a temperatura variabile

Messaggio da PG93 » 2 set 2018, 22:54

Per questo problema mi era venuto in mente questo: in un intervallo infinitesimale del tuo tubo, puoi considerare che la temperatura sia costante. Le collisioni tra molecole sono elastiche, dunque quando una molecola di energia cinetica impatta una molecola di energia cinetica , si "scambiano" le relative energie cinetiche.
Consideriamo che (in un intervallo di tempo scelto opportunamente) la metà delle molecole nell'intervallo impatti molecole nell'intervallo , e l'altra metà impatti molecole nell'intervallo ; alla fine, la metà delle molecole avrà energia cinetica e l'altra metà avrà energia cinetica , però l'energia cinetica media delle molecole nell'intervallo iniziale dovrà restare (non so se mi spiego chiaramente). Perciò:


il che fa pensare a un incremento lineare (magari gli esaminatori di fisica lasceranno passare affermazioni del genere...). Da ciò si ricava , e ponendo e si ha

GabriManga
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Re: Gas a temperatura variabile

Messaggio da GabriManga » 3 set 2018, 20:10

Consideriamo un cilindro orientato con l'asse coincidente con l'asse x in assenza di gravità riempito di gas le cui estremità sono mantenute alle temperature con . Nella situazione di equilibrio le molecole non stanno accelerando verso una direzione privilegiata: la pressione è uniforme all'interno del cilindro.
Utilizzeremo la formula di Fourier dove la conduttanza termica è quella di un gas perfetto a temperatura , data da ; è la densità volumica di particelle e la loro velocità media.
La dipendenza del libero cammino medio da permette di scrivere ricordando l'espressione della velocità media delle particelle in un gas.
Nella situazione considerata è costante e serve a mantenere il gradiente di temperatura presente. La relazione di Fourier può essere scritta come: .
Consideriamo il punto dell'asse del cilindro a in corrispondenza dell'origine degli assi.
Integrando tra e ricaviamo .
Integrando tra e otteniamo finalmente .

Lo stesso procedimento confermerebbe l'ultima parte della risposta di PG93 se la capacità termica di un gas ideale fosse costante, ma non è così.

A questo punto dall'equazione di stato dei gas perfetti possiamo ricavare : all'aumentare di x questo diminuisce. Ciò corrisponde ad una maggiore concentrazione di particelle nelle regioni più fredde, come ci aspettiamo.
Nei solidi la conduzione è dovuta a vibrazioni e urti tra molecole e diffusione e urti di elettroni liberi, nei fluidi per collisione e diffusione di molecole, però oltre a dare una conduzione di calore pessima (eccezioni sono l'Elio e l'Idrogeno) non credo che invalidi l'equazione di Fourier.

Schrodingers_Bat
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Iscritto il: 26 ago 2018, 9:51

Re: Gas a temperatura variabile

Messaggio da Schrodingers_Bat » 3 set 2018, 23:36

Grazie mille a entrambi!

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