SNS Pisa 2018 Problema 6 (Differenza tra pendolo ideale e pendolo reale)

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Schrodingers_Bat
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SNS Pisa 2018 Problema 6 (Differenza tra pendolo ideale e pendolo reale)

Messaggio da Schrodingers_Bat » 26 ago 2018, 11:19

Qual è la minima lunghezza del filo cui si deve attaccare una pallina di diametro 4 cm, se si vuole considerare il sistema come un pendolo ideale nel calcolarne il periodo delle piccole oscillazioni, ammettendo al massimo un errore dell'1%?

Io ho inteso, perché non mi pareva chiarissimo, che chiedesse di determinare un pendolo reale (con il momento di inerzia di una pallina) che non si discostasse molto dal modello ideale con la pallina puntiforme. Poi, quello che ho scritto è un'altra storia...

nicarepo
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Re: SNS Pisa 2018 Problema 6 (Differenza tra pendolo ideale e pendolo reale)

Messaggio da nicarepo » 26 ago 2018, 11:47

Il rapporto dei periodi doveva essere minore di 1%. Io ho fatto così: il periodo di un pendolo ideale per piccole oscillazioni è noto: . Il periodo del pendolo reale andava calcolato considerando la lunghezza del filo uguale (); è anche passato un tizio a chiarire il concetto e ha detto che l'interpretazione era quella. Per il pendolo ideale però bisognava scrivere:

Il momento di inerzia si calcola con il teorema di Huygens-Steiner:

Il periodo quindi è uguale a:
Ora bisogna imporre il rapporto minore o uguale a e bisognava stare attenti che dava un'equazione di secondo grado sempre positiva e quindi impossibile. Quindi il rapporto corretto era: ovvero:

Si tratta di una parabola con concavità verso l'alto e intersezione con le ordinate negativa. Purtroppo in minimo è un valore di negativo quindi il più piccolo è zero.

Spero vivamente di non aver commesso errori :lol: comunque sono ben accette critiche e puntualizzazioni!

PG93
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Re: SNS Pisa 2018 Problema 6 (Differenza tra pendolo ideale e pendolo reale)

Messaggio da PG93 » 26 ago 2018, 12:10

Non dovresti piuttosto avere $\frac{T_2-T_1}{T_1}\leq 0.01$, trattandosi dell'errore relativo?

nicarepo
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Re: SNS Pisa 2018 Problema 6 (Differenza tra pendolo ideale e pendolo reale)

Messaggio da nicarepo » 26 ago 2018, 12:35

Io avevo capito il rapporto, comunque se era l'errore ho sbagliato tutto, perfetto! No vabbè, la parabola viene diversa e immagino con un minimo positivo.

Schrodingers_Bat
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Re: SNS Pisa 2018 Problema 6 (Differenza tra pendolo ideale e pendolo reale)

Messaggio da Schrodingers_Bat » 26 ago 2018, 17:13

nicarepo ha scritto: 26 ago 2018, 11:47 Per il pendolo ideale però bisognava scrivere:
Alfa e theta sono lo stesso angolo no? e sono approssimativamente uguali perché l'angolo di oscillazione è molto piccolo come dice il testo?
nicarepo ha scritto: 26 ago 2018, 11:47 Il periodo quindi è uguale a:
Questo come si spiega? Non avendo mai fatto decentemente fisica rotazionale a scuola ho un po' di difficoltà a capirlo.
Grazie in anticipo!

nicarepo
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Re: SNS Pisa 2018 Problema 6 (Differenza tra pendolo ideale e pendolo reale)

Messaggio da nicarepo » 26 ago 2018, 17:26

Si, scusa sono lo stesso angolo... Allora il punto è questo: il moto armonico è soluzione dell’equazione differenziale lineare di secondo ordine: quella che ha (accelerazione angolare) da una parte e (angolo) dall’altra. Il coefficiente di sarebbe (nella risoluzione dell’equazione) la pulsazione al quadrato. Da qui il periodo che ho scritto (sostituendo il momento di inerzia).

Schrodingers_Bat
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Re: SNS Pisa 2018 Problema 6 (Differenza tra pendolo ideale e pendolo reale)

Messaggio da Schrodingers_Bat » 26 ago 2018, 18:03

Ok grazie mille! speriamo siano clementi... per ora ne ho cannati 2,5/3...

nicarepo
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Re: SNS Pisa 2018 Problema 6 (Differenza tra pendolo ideale e pendolo reale)

Messaggio da nicarepo » 26 ago 2018, 18:13

Lo stesso vale per matematica a me :lol: ... Quando posso scrivo anche gli ultimi due...

luigi
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Re: SNS Pisa 2018 Problema 6 (Differenza tra pendolo ideale e pendolo reale)

Messaggio da luigi » 28 ago 2018, 11:01

Secondo me
ammettendo al massimo un errore dell'1%
era da intendere come "l'errore percentuale che risulta dal calcolo non deve essere maggiore di 1", e per calcolo intendo .

Ora, trattandosi di una formula che coinvolge solo moltiplicazioni e divisioni, la somma degli errori relativi dovrà essere minore o uguale a 0.01 e l'unica variabile presente risulta essere l (le altre sono costanti con incertezza trascurabile). Ipotizzando la radice come una operazione di divisione ed essendo l'errore relativo definito come , siccome il diametro della sfera era dato al centimetro, la somma degli errori relativi risulta essere , il tutto utilizzando le misure in metri. Ponendo ciò come minore o uguale a 0.01 a me viene come risultato che il filo deve essere di almeno 1m di lunghezza.

Ditemi se secondo voi può essere un ragionamento corretto. :)

nicarepo
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Re: SNS Pisa 2018 Problema 6 (Differenza tra pendolo ideale e pendolo reale)

Messaggio da nicarepo » 28 ago 2018, 11:49

Secondo me il ragionamento non va bene, perché la formula dei due periodi non è uguale. Cioè, tu hai presupposto che il periodo in entrambi i casi fosse lo stesso (la formula intendo), ovvero che dipendesse linearmente dalla lunghezza del filo sotto radice; invece evidentemente non è così.

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