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163. Corsa per biologi
Inviato: 11 ago 2018, 22:51
da .Ruben.
Un coniglio si muove arbitrariamente nel piano mantenendo il modulo della sua velo-
cità
costante. Una volpe lo insegue muovendosi anche essa con velocità costante in
modulo
, dirigendosi istante per istante nella direzione del coniglio.
Dimostrare che indipendentemente dalla traiettoria scelta dal coniglio esso verrà
raggiunto in un tempo finito se
>
Re: 162. Corsa per biologi
Inviato: 12 ago 2018, 13:04
da lance00
La volpe parte dall'origine di un piano cartesiano, la distanza iniziale volpe-coniglio è
. Dopo un intervallo di tempo
vale
che è massima per
. Ma in questo caso è evidente che la volpe raggiunge il coniglio (si muovono su una retta)
Re: 162. Corsa per biologi
Inviato: 13 ago 2018, 9:10
da .Ruben.
Non capisco perché hai semplicemente
; mica è un prodotto scalare tra vettori paralleli?
E poi così avresti dimostrato che la migliore strategia locale per non farsi prendere dal coniglio li fa incontrare in un tempo finito. Ma nessuno ha detto che il coniglio è intelligente; non puoi sapere se esiste o no una strategia "peggiore" che richiede un tempo infinito. In sintesi, devi dimostrare che qualunque percorso facciano devono incontrarsi in un tempo finito.
Rilancio: tempo massimo prima dell'incintro?
Re: 162. Corsa per biologi
Inviato: 13 ago 2018, 10:06
da nicarepo
Se ho capito bene quello che ha scritto Lance, credo che vada bene... Comunque scrivo quello che ho pensato. Non so come si inseriscono le immagini quindi descrivo a parole: si immagini di prendere un sistema di assi cartesiani in cui la volpe occupa il centro, e si immagini di posizionare il coniglio sull'ascissa positiva a distanza
dalla volpe.
Dopo un tempo
sufficientemente piccolo, i cammini dei due animali si possono immaginare rettilinei. La volpe si è mossa lungo
(dato che il coniglio si trovava su
) mentre il coniglio si è mosso in una direzione qualsiasi con angolo
rispetto alle ascisse.
Si indichi con
la nuova distanza tra la volpe e il coniglio. Per disuguaglianza triangolare si può scrivere:
dove
è la distanza infinitesima percorsa dal coniglio e
dalla volpe. Dato che
(perché le velocità sono diverse) allora la disuguaglianza si può maggiorare scrivendo
.
L'uguaglianza in
si ha solo se il coniglio si muove lungo
(quindi
). In tal caso il tempo necessario affinché la volpe prenda il coniglio è:
da cui si deduce che maggiore è la velocità della volpe, prima il coniglio verrà catturato.
Re: 162. Corsa per biologi
Inviato: 13 ago 2018, 10:53
da .Ruben.
Okay ora ho capito anch'io
Re: 162. Corsa per biologi
Inviato: 13 ago 2018, 11:13
da lance00
effettivamente non mi sono spiegato benissimo..
Re: 162. Corsa per biologi
Inviato: 13 ago 2018, 11:15
da lance00
ma generalizzare in 3d?
Re: 162. Corsa per biologi
Inviato: 13 ago 2018, 11:22
da nicarepo
Forse è uguale perché si può far sempre passare un piano per le tre posizioni degli animali (la posizione iniziale e finale del lupo e quella iniziale del coniglio sono sulla stessa retta), quindi si riconduce al caso 2D.
Re: 162. Corsa per biologi
Inviato: 13 ago 2018, 11:59
da Gamow00
Effettivamente bastava una disguaglianza triangolare senza fare conti... Bravo nicarepo
In 3d è sicuramente la stessa cosa, perché i vettori velocità dei due corpi in un dato istante sono contenuti in uno stesso piano (perché la volpe punta sempre al coniglio)
Re: 162. Corsa per biologi
Inviato: 13 ago 2018, 12:32
da nicarepo
Grazie
, comunque ho un esercizio interessante da proporre se a Lance non dispiace...
@Ruben questo problema dovrebbe essere il 163, puoi cambiarlo?