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Un cubo di emittività uguale a 1 viene posto al Sole. L'intensità dei raggi solari è pari ad . Trovare i valori minimi e massimi per la temperatura di equilibrio . Qualcuno bravo col calcolo vettoriale mi potrebbe aiutare?

Non vorrei dire una sciocchezza, ma se l'emissività è si tratta di un corpo nero. Quindi si può usare la legge di Stefan-Boltzman . Dato che è un'intensità, bisogna calcolare l'area della regione colpita dai raggi solari, credo supponendo in ogni punto un'intensità costante. Giusto?

Il problema è che mentre tutta l’area emette solo l’area perpendicolare ai raggi riceve

Non ho capito qual è il problema sinceramente.

Vuoi sapere i valori massimi e minimi di al variare dello spigolo del cubo e di ?

Al variare dell’orientamento del cubo.

Il cubo è poggiato a terra e l'elevazione del Sole può variare da all'alba fino a al tramonto. Se quella che conta è l'incidenza perpendicolare è necessario trovare l'area esposta perpendicolarmente ai raggi. Supponiamo inizialmente che il Sole stia sorgendo. Se una delle facce del cubo è perpendicolare ai raggi, l'area colpita è . Se invece il cubo è ruotato di un angolo rispetto al caso precedente (asse perpendicolare al terreno), l'area perpendicolare sarà: , in quanto solo le due facce dal lato del Sole vengono colpite.Ora supponiamo che il Sole sia elevato ad un'angolazione rispetto al piano. A questo punto l'area perpendicolare sarà , in questo caso sono colpite le due facce di prima più la faccia superiore.

Quindi puoi calcolare la potenza assorbita come e l'intensità emessa come supponendo che il corpo emetta isotropicamente. L'intensità della radiazione solare sulla terra è più o meno .

Ok grazie, la potenza assorbita mi torna mentre quella emessa no.. non è semplicemente ?

La potenza assorbita e quella emessa sono uguali dato che si tratta di un corpo nero. Quello che cambia è l’intesità (potenza su unità di superficie), e nella legge di Stefan-Boltzmann si usa l’intensità emessa.

Aspetta aspetta

Per la legge di Stefan Boltzmann, un corpo nero assorbe le frequenze con la stessa efficienza con il quale le emette. Questo significa che, integrando il ragionamento su tutto lo spettro, l'efficienza di assorbimento e di emissione coincidono.
Ma questo non dice nulla sull'intensità assoluta. Altrimenti significherebbe che mettendo l'estremità di una spranga di ferro su una fiamma, tutta dovrebbe emettere con la stessa intensità della fiamma stessa violando un bel po' di principi base.
L'intensità assoluta entrante, quella del sole, non è per nulla correlata all'intensità assoluta emessa.
La potenza assorbita è quella che hai trovato (con ), mentre quella emessa è semplicemente

Bravo per come hai trovato l'area esposta al sole perché non è facilissimo pensare in 3D.

Capisco... Ma ora il dubbio sorge spontaneo: a cosa serviva calcolare la potenza assorbita?? Poi comunque un collegamento tra potenza assorbita ed emessa ci dovrebbe essere, no? Dato che l'energia che entra non scompare, parte viene usata per aumentare l'energia interna e parte viene irraggiata: qual'è la relazione tra le due?