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Catena strana
Inviato: 6 lug 2018, 11:27
da Aleksej99
Si hanno
sbarre di massa omogeneamente distribuita e per tutte uguale a
e lunghezza
Le incernieriamo l'una all'altra con giunti perfettamente flessibili, di massa trascurabile, in modo da formare una sorta di catena: attacchiamo poi attraverso le sbarre agli estremi la catena ad un soffitto (molto resistente) e si ha che l'angolo tra le sbarre estreme ed il soffitto è
Nell'ipotesi
si calcoli a che altezza dal soffitto pende la catena
Bonus: farlo senza integrali
Re: Catena strana
Inviato: 6 lug 2018, 13:41
da lance00
l'ho considerata una catenaria (non penso sia lecito
) e mi viene
Re: Catena strana
Inviato: 6 lug 2018, 14:49
da Aleksej99
Il risultato non è lontano da quello voluto ma la cosa, spero, carina del problema sta nel non usare il calcolo integrale e dunque sicuramente non dare per buono il coseno iperbolico della catenaria
Re: Catena strana
Inviato: 6 lug 2018, 20:04
da Flaffo
Anche a me Lance, poi si semplifica in:
Re: Catena strana
Inviato: 7 lug 2018, 19:45
da Gamow00
Anche a me viene come Flaffo e Lance.
Ho dovuto usare un integrale, ma è di una funzione lineare, quindi c'è sicuramente un modo di bypassarlo.
Indico con
la densità lineare della catena e con
la lunghezza di mezza catena (perchè non voglio finire con migliaia di fratto due).
Siccome la forza applicata a un'estremo della catena è tangente alla catena stessa ho che
Questa
è costante lungo tutta la catena, quindi in ogni punto ho che
, dove con
indico la lunghezza della catena fino a un punto generico e con
l'inclinazione a un punto generico.
Quindi
Per motivi geometrici
Re: Catena strana
Inviato: 7 lug 2018, 21:44
da Flaffo
Sì, puoi anche dire che, dato che
è piccolo, le variazioni sono tutte del primo ordine. L'angolo varia tra
e 0 (in realtà tende a zero per n che tende a infinito perché, dato che le aste sono in numero pari, l'angolo finale avrà un certo valore molto piccolo). Per ottenere un risultato approssimato, che valga solo nel limite di n molto grande, possiamo quindi dire che la media è
, perciò
.
Re: Catena strana
Inviato: 8 lug 2018, 11:49
da Aleksej99
A questo punto posto la mia soluzione dai ...
Numeriamo le sbarrette a destra partendo da quella più in basso (
per intederci), per simmetria la tensione dovuta alla sbarretta alla sua sinistra è orizzontale e vale
Per equilibrare dunque questa tensione e la forza peso agirà su questo sbarretta una forza dovuta alla numero
con componente orizzontale
e verticale
Per l'annullamento del momento calcolato rispetto al giunto con la sbarretta a sinistra si avrà
ovvero
Per la sbarretta
-esima si avrà che
e dunque
dalla quale
Concludiamo con
Non ho fatto uso di integrali e alla fin fine funziona bene anche nel caso
piccolo