Sns 1994-5

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.Ruben.
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Sns 1994-5

Messaggio da .Ruben. » 3 lug 2018, 13:39

Due cilindri uniformi ruotano indipendentemente intorno ai loro assi. Indichiamo con R_1,M_1 ed R_2,M_2 raggio e massa dei due cilindri. Supponiamo poi che i due assi di rotazione siano paralleli e che la rotazione avvenga nello stesso senso con velocità angolari ω_1 e ω_2 rispettivamente.
I due cilindri vengono quindi spostati fino a farli accostare e i loro assi sono mantenuti nella posizione schematizzata in figura. In questa posizione, essi sono liberi di ruotare intorno al proprio asse e rotolano senza strisciare lungo una tangente. Si calcoli la velocità angolare finale di ogni cilindro.

Aleksej99
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Re: Sns 1994-5

Messaggio da Aleksej99 » 5 lug 2018, 10:15

Non agendo forze esterne sul sistema il momento angolare totale si conserva e dunque dette e le velocità angolari finali dei due corpi si avrà



dalla condizione di non slittamento si ha che



Svolgendo diligentemente i calcoli e detti , si ottiene




Dudin
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Re: Sns 1994-5

Messaggio da Dudin » 5 lug 2018, 13:30

Correggetemi se sbaglio ma secondo me il momento angolare non si conserva e bisogna sfruttare che:
e che
da cui

Dudin
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Re: Sns 1994-5

Messaggio da Dudin » 5 lug 2018, 13:31

per il resto direi che la mia soluzione e' identica ma il risultato esce leggermente diverso

.Ruben.
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Re: Sns 1994-5

Messaggio da .Ruben. » 6 lug 2018, 8:29

Ecco é come la mia.
Ora c'è un problema, i cilindri per non slittare alla fine devono muoversi in versi opposti, quindi le velocitá angolari finali devono avere segni diversi. Ma, se provi a farlo, ottieni un meno orrendo a denominatore

nicarepo
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Re: Sns 1994-5

Messaggio da nicarepo » 13 lug 2018, 16:30

Il dubbio è ingiustificato in quanto la risposta proposta sopra è evidentemente corretta. Nonostante ciò ad essere rigorosi si dovrebbe fare la seguente considerazione.

Supponiamo che i momenti di inerzia dei due cilindri siano diversi e che inizialmente ruotino nello stesso senso. Dopo il contatto (senza strisciamento) uno dei due cilindri inverte la rotazione, affinché la velocità tangenziale nel punto di contatto sia uguale in modulo e verso per entrambi i corpi.

A questo punto la conservazione si può scrivere così:





Da cui le formule trovate in precedenza (con )

.Ruben.
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Re: Sns 1994-5

Messaggio da .Ruben. » 14 lug 2018, 12:25

Continuo a non essere d'accordo.
Scriviamolo coi vettori e poi con i moduli:
Il momento angolare (diretto lungo l'asse verticale) all'inizio vale: .
Alla fine (supponendo che il disco col secondo indice inverta la rotazione) il momento angolare vale:
.
Prendendo i moduli (ossia moltiplicando scalarmente per il versore verticale nella direzione positiva): .
A questo punto il modulo della velocità nel punto di contatto vale: da cui: . Il problema di segno rimane (se i dischi sono identici si ha una singolarità).

Altro ragionamento (SUPPONENDO I DISCHI IDENTICI):

Siano i vettori che collegano i centri di massa dei dischi al punto di contatto: ovviamente .
La velocità nel punto di contatto vale: , da cui: (e si ha ancora qualcosa di assurdo).

Avancini
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Re: Sns 1994-5

Messaggio da Avancini » 16 lug 2018, 1:44

Il sistema non è isolato, per cui non c'è ragione di ritenere che il momento angolare del sistema si conservi. Anche ammettendo di spostare impercettibilmente l'asse di un cilindro, in modo che questo venga a contatto con la superficie dell'altro cilindro, il momento angolare, in generale, non sarà conservato durante il processo (d'urto) in cui rapidamente i cilindri si portano a ruotare senza strisciamento l'uno sull'altro.

Bisogna, quindi, fare riferimento alle equazioni cardinali della dinamica per ciascun cilindro, e le userei in forma impulsiva (cioè integrande l'effetto rispetto al tempo in un intervallo molto breve, virtualmente di durata nulla, in cui si produce un trasferimento d'impulso non nullo).

Durante il processo d'urto, sul primo cilindro agiranno un impulso -J in C1 (il centro viene tenuto fermo dall'esterno) e un impulso J nel punto A di contatto (causa il contatto con il secondo cilindro, ma l'impulso netto deve essere 0 perché C1 rimane fermo), mentre sul secondo cilindro agiranno un impulso -J nel punto A di contatto (principio di azione e reazione, in virtù del contatto con il primo cilindro) e un impulso J in C2 (anche questo centro si mantiene fermo, l'impulso netto sul secondo cilindro deve essere anch'esso 0).

Assumendo ragionevolmente che J sia ortogonale alla congiungente C1-C2, le equazioni cardinali del momento angolare per il primo e il secondo cilindro, rispetto al polo C1, si scrivono:





e ad esse si deve affiancare la condizione di puro rotolamento dei due cilindri dopo il contatto:



Quindi, ricordando che il momento d'inerzia di un cilindro (pieno) è , ponendo a sistema tali equazioni si ottiene la soluzione desiderata:







Tra l'altro, si può verificare che il processo dissipa sempre l'energia cinetica del sistema: a valle dell'urto, cioè, l'energia cinetica è sempre minore o al più uguale rispetto a quella precedente all'urto, il che è molto ragionevole. Si tratta di una specie di processo anelastico. ;)
Ultima modifica di Avancini il 16 lug 2018, 13:04, modificato 1 volta in totale.

.Ruben.
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Re: Sns 1994-5

Messaggio da .Ruben. » 16 lug 2018, 6:05

Se mi dici che N invece di una forza é un impulso, allora finalmente mi trovo.

Avancini
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Re: Sns 1994-5

Messaggio da Avancini » 16 lug 2018, 13:05

.Ruben. ha scritto:
16 lug 2018, 6:05
Se mi dici che N invece di una forza é un impulso, allora finalmente mi trovo.
Sì, è l'impulso, integrale nel tempo della forza impulsiva; ho ritoccato la precedente risposta. :)

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