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153. Scaling
Inviato: 19 giu 2018, 11:13
da lance00
Problema facile ma interessante
Un elicottero è in equilibrio in aria e il suo motore fornisce una potenza
. Qual è la potenza necessaria per far stare in equilibrio un elicottero identico al primo ma in scala
?
Re: 153. Scaling
Inviato: 19 giu 2018, 14:06
da Paperottolo
P/k*k?
Re: 153. Scaling
Inviato: 23 giu 2018, 14:58
da Gamow00
Do qualche nome alle variabili:
- è la lunghezza caratteristica dell'elicottero
- è associata alla forza che l'elicottero deve esercitare per rimanere in equilibrio dinamico, quindi
- è la velocità associabile al movimento delle eliche, quindi
Per definizione di potenza:
Quindi
Se l'elicottero viene scalato di un fattore
, la potenza verrà moltiplicata per un fattore
In alternativa, posso notare che le uniche "costanti" riferibili all'elicottero sono la sua densità e la velocità angolare delle pale, in aggiunta al valore non variabile della accelerazione di gravità. Per analisi dimensionale, mi posso scrivere la potenza utilizzando queste costanti e lasciando fuori un fattore
, che sarà quindi riferito alla grandezza del veivolo.
Re: 153. Scaling
Inviato: 23 giu 2018, 18:11
da Marcus
Mmh avevo provato a farlo con calcoli veloci e a me il fattore usciva una roba del tipo
Re: 153. Scaling
Inviato: 23 giu 2018, 19:24
da lance00
@Marcus: si è giusto, se posti il procedimento il testimone è tuo
Re: 153. Scaling
Inviato: 23 giu 2018, 20:03
da Gamow00
Io direi
Re: 153. Scaling
Inviato: 23 giu 2018, 20:04
da Marcus
Avrei preferito lasciarlo a chi è ancora buon materiale olimpico, ma va beh
Se permetti aspetto ancora qualche giorno per postare la soluzione, tempo di fare la terza prova e pensare ad un eventuale problema 154. Intanto gamow o altri sentitevi liberi di risolverlo e prendere voi la staffetta.
Re: 153. Scaling
Inviato: 26 giu 2018, 21:40
da Marcus
Va beh dato che nessuno si è fatto avanti...
Proviamo a costruire un modello: nel loro movimento le pale dell'elicottero di massa
spazzano una circonferenza di raggio
con velocità
. Supponiamo che le pale dell'elicottero muovano l'aria che spazzano verso il basso con la stessa velocità. Allora si ha che il volume d'aria spostato in un tempo
è
dunque detta
la densità dell'aria si ha:
Allora dato che la forza prodotta dalle pale verso l'alto è
imponendo l'equilibrio col peso si ha:
Allora dato
si ottiene:
Ora si riducono le dimensioni dell'elicottero di un fattore k, si indicano le grandezze dopo la trasformazione ponendo k al pedice. Si avrà
e
(per la dipendenza massa-volume). Allora:
Re: 153. Scaling
Inviato: 27 giu 2018, 2:03
da sg_gamma
Molto interessante l'idea di Marcus; credo si possa giungere alla medesima soluzione per mezzo di Bernoulli (per cui si giunge alla fine a
) o con un'equazione che ho trovato secondo cui la forza di sollevamento di un elicottero vale
: in entrambi i casi
indica la densità dell'aria,
la velocità dell'elicottero rispetto al sistema di riferimento dell'aria (che si suppone anche qui muoversi verso il basso),
indica l'area spazzata dalle pale;
pare essere un coefficiente che dipende dall'angolo tra le pale e lo spostamento dell'aria. La formula finale differisce per un fattore 2 sotto radice, ma per le richieste del problema è abbastanza ininfluente.
Re: 153. Scaling
Inviato: 27 giu 2018, 9:44
da lance00
@Marcus posta pure il 154