150. Play tetherball

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Flaffo
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150. Play tetherball

Messaggio da Flaffo » 6 giu 2018, 10:58

Se Guido leggesse questo problema penserebbe: "ah, questo è un altro dei problemini di Flaffo"; mentre Secca esclamerebbe: "questi problemi da CIM!".
In ogni caso, trattato dai problemi irrisolti di Morin (.. sul libro ovviamente), il problema è il seguente.

Una piccola palla è attaccata ad una corda senza massa. Nel momento iniziale l'angolo che il filo forma con la verticale è e la velocità orizzontale è . Col passare del tempo, la corda si avvolge attorno al palo. Supponiamo che:
1. il palo è abbastanza sottile in modo che la la traiettoria possa essere sempre trattata come un moto circolare,
2. il palo ha abbastanza attrito in modo che la corda non scivoli, una volta che lo tocca.
Mostra che il rapporto tra la velocità finale (appena prima che colpisca il palo) e la velocità iniziale della palle è

HINT 1: L'energia si conserva

HINT 2: L'angolo finale tende a

HINT 3: Trovare un modo per esprimere (cambiamento di quota della palla) in funzione di (cambiamento lunghezza del filo)

HINT4: Trovare quindi un'equazione differenziale che lega e
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Ilgatto
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Re: 150. Play tetherball

Messaggio da Ilgatto » 6 giu 2018, 19:41

Non vorrei aver frainteso, ma se , avrei che per qualsiasi velocità iniziale e non mi torna nella realtà. Cioè se do un colpo molto forte alla pallina e il filo è verticale alla fine va molto veloce.

P.S.
Spero di non rubare troppo tempo alla tesina di @Flaffo :D

Flaffo
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Re: 150. Play tetherball

Messaggio da Flaffo » 6 giu 2018, 20:07

Effettivamente dal testo potrebbe essere frainteso.. la velocità iniziale e l'angolo iniziale sono legati da una specifica relazione che permette alla palla di muoversi su una circonferenza che ha quindi raggio se è la lunghezza della corda. Nel caso va da se che la velocità iniziale e finale sia nulla. La notazione che viene fornita era intesa per far capire a cosa si riferisse l'angolo che poi compare nella formula finale.

Hahah non ti preoccupare, la staffetta è un obbligo che va rispettato
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Re: 150. Play tetherball

Messaggio da Aleksej99 » 8 giu 2018, 10:41

Flaffo ha scritto:
6 giu 2018, 10:58
Se Guido leggesse questo problema penserebbe: "ah, questo è un altro dei problemini di Flaffo"; mentre Secca esclamerebbe: "questi problemi da CIM!".
In ogni caso, trattato dai problemi irrisolti di Morin (.. sul libro ovviamente), il problema è il seguente.

Una piccola palla è attaccata ad una corda senza massa. Nel momento iniziale l'angolo che il filo forma con la verticale è e la velocità orizzontale è . Col passare del tempo, la corda si avvolge attorno al palo. Supponiamo che:
1. il palo è abbastanza sottile in modo che la la traiettoria possa essere sempre trattata come un moto circolare,
2. il palo ha abbastanza attrito in modo che la corda non scivoli, una volta che lo tocca.
Mostra che il rapporto tra la velocità finale (appena prima che colpisca il palo) e la velocità iniziale della palle è
Un ringraziamento ad Aleksej99 per aver dato la soluzione a Flaffo mi sembrava doveroso... Comunque buona fortuna per chi proverà a farlo...
#Flafforoalleipho

Flaffo
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Re: 150. Play tetherball

Messaggio da Flaffo » 8 giu 2018, 13:28

Hahaha si ringrazia caldamente Alessandro per la collaborazione nella pubblicazione di questo problema come staffetta, quindi non date interamente la colpa a me...

Aggiungerei #Flaffo>98allamaturità :lol:
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Pigkappa
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Re: 150. Play tetherball

Messaggio da Pigkappa » 8 giu 2018, 18:20

Ho vaghi ricordi di aver provato a fare questo problema nella mia infanzia e averlo trovato particolarmente difficile (o forse non mi era riuscito e basta). Se nessuno lo riesce a fare in tempi ragionevoli Flaffo dia suggerimenti o posti la soluzione così da non bloccare la staffetta.
"Per un laser, si passa da temperature positive a temperature negative non passando attraverso 0 K, ma passando attraverso l'infinito!" (cit.)
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Re: 150. Play tetherball

Messaggio da Flaffo » 9 giu 2018, 19:37

Aggiungo il primo hint, abbastanza banale (nel senso che da come il testo è scritto è ovvio che voglia quello) ma in ogni caso utile.
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Pigkappa
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Re: 150. Play tetherball

Messaggio da Pigkappa » 10 giu 2018, 23:56

Dato che questo problema mi ha stuzzicato scrivo i miei ragionamenti. Non ho ottenuto il risultato giusto, puoi dirmi cosa ho sbagliato e in che direzione devo cercare? Non so se avro' tempo di riprovarci durante la settimana, invito altri a provarci perche' e' un problema interessante.

Fatto 1: l'energia si conserva. Abbastanza ovvio dato che la corda non striscia sul palo e non c'e' altro modo di perdere energia.

Fatto 2: il momento angolare non si conserva. Se si conservasse, la velocita' finale della pallina sarebbe infinita se trascuriamo la dimensione del palo, o comunque molto grande se non la trascuriamo.

Il fatto 2 mi mette sull'allerta che questo problema e' piu' insidioso di quel che sembra. Probabilmente il problema richiede di usare le approssimazioni suggerite in qualche parte della soluzione ma poi non usarle in una qualche altra parte. Il semplice fatto che la pallina scende ovviamente vuol dire che il moto non e' circolare; ma potrebbe essere necessario considerare qualcosa di piu' complicato che solo quel fatto.

Proviamo ad assumere che sia costante. A vedere video su Youtube dei tetherballs, sembra plausibile. Chiamiamo , , tensione, massa della pallina, gravita'. Chiamiamo la lunghezza della corda all'istante iniziale (quando ancora niente si e' avvolto al filo). Il moto e' in un qualche senso circolare per cui non c'e' forza verticale, e la forza orizzontale serve solo a darmi l'accelerazione centrifuga. Quindi:


Facciamo due conti e troviamo .

Alla fine del moto, una quantita' di corda si e' avvolta al palo e da considerazioni geometriche l'altezza e' diminuita di . La conservazione dell'energia da':


Mettendolo nella formula sopra troviamo:

Da cui , da cui .

Che e' il risultato sbagliato. Possibili magagne:
1. Potrebbe essere falsa l'approssimazione che e' costante, ma qualunque strategia per trovare che posso immaginare richiede conti molto brutti e decisamente non olimpici. D'altra parte e' un problema da 4 stelle del Morin per cui puo' anche essere molto brutto.
2. Potrebbero essere sbagliate l'equazioni del moto qua sopra perche' l'approssimazione di moto circolare potrebbe non andar bene per quelle, ma allora uno dovrebbe introdurre un'altra variabile come lo spessore del palo, e le cose si complicano.
3. Questo dubbio mi è sorto leggendo qualcosa su internet mentre cercavo la soluzione a questo problema: le "considerazioni geometriche" di cui sopra potrebbero essere sbagliate e la relazione tra e potrebbe essere piu' brutta, ma un po' mi stupirei. Se e' cosi' potresti spiegare per bene come si arriva alla relazione corretta?
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Re: 150. Play tetherball

Messaggio da Flaffo » 11 giu 2018, 13:05

Prima osservazione giusta

Seconda osservazione giusta.. anche perché essendo il raggio del palo piccolo ma non nullo, la forza di attrito crea un momento non nullo.

Ora, l'angolo non è costante. Guardando l'equazione per il moto circolare che hai ottenuto, sapendo che la velocità finale può avere un valore grande o piccolo ma sempre finito e non nullo ( limitato, per la conservazione dell'energia, dalla lunghezza della corda, che in qualche modo è a sua volta legata alla differenza di altezza iniziale e finale), abbiamo che:



Per che tende a 0, il membro di sinistra tende a infinito, dunque vediamo che tende a , cioè in ogni caso non rimane costante.

Immagino che sia alquanto complicato da scrivere, ma è in effetti più facile metterlo in funzione della velocità.

Per quanto riguarda l'approssimazione del moto circolare, va bene in quanto il testo stesso dice di farlo.

In effetti, ciò che ti manca è esprimere correttamente in funzione di . Il problema sta tutto in questa relazione. Immagina cosa succede alla corda che si avvolge...

Spero di essere stato abbastanza chiaro, anche se la risposta potrebbe sembrare leggermente mistica in alcuni punti. Dopotutto la soluzione mi viene in poco più di mezza pagina, dunque dando un'idea avrei praticamente rovinato il problema. In ogni caso, tra un paio di giorni pubblicherò il prossimo hint, per calcolare .. se il problema rimane ancora irrisolto.
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Re: 150. Play tetherball

Messaggio da Pigkappa » 11 giu 2018, 23:32

Ci sono due altezze che contano: l'altezza del punto in cui il filo e' rasente al palo, e quella della pallina.
Il filo che si avvolge si attacchera' di volta in volta al palo formando sempre un angolo (variabile) con la verticale. Direi percio' che e che . Poniamo . Allora e .

Notiamo che dalle equazioni che abbiamo scritto nei post precedenti, , ovvero . Differenziamo e togliamo la gravita' e troviamo una equazione differenziale per e , che a me viene:

Il mostro a destra e' integrabile. Il risultato mi pare sia che e' costante.
Ora potremmo usare che dalla conservazione dell'energia che ormai possiamo esprimere solo in (moltissimi) termini di . Poi potremmo integrare notando che va da a durante il moto. Questo conto mi pare orribile ma non escluderei che un problema del Morin da quattro stelle richieda di farlo, o piu' realisticamente c'e' una scorciatoia che richiede manipolazioni bislacche per usare invece di in questi conti e renderli piu' facili. L'ho cercata per un po' ma non l'ho trovata. Alla fine scommetterei che rimane il risultato finale.

Il metodo e' giusto o questo conto non darebbe il risultato corretto?

Il tuo post sembrava suggerire che c'e' una semplice relazione che rende il problema facile, ma quel che ho trovato io qua sopra e' contiene un termine in che rende il tutto meno gradevole...
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