Forum OLIFIS

Si sono appena svolte le olimpiadi europee della fisica 2018 in Russia. I problemi sono molto belli, perche' sono molto difficili concettualmente ma non in termini di conti o conoscenze avanzate, per cui li posto qua. Temo che non avro' tempo di seguire la discussione, ma rispondendovi a vicenda e, quando ci avrete provato seriamente, cercando le soluzioni online, potrete comunque imparare molto. Questo e' il problema 1.

Tre piccole sfere identiche A, B e C di massa sono connesse da due aste rigide senza massa di lunghezza . La sfera A e' connessa alla B, e la sfera B e' connessa alla C. L'angolo tra le due aste e' libero di cambiare. Le sfere si trovano in un ambiente privo di gravita' e attrito. Inizialmente il sistema e' fermo, e le sfere si trovano su una linea retta. All'istante t = 0, la sfera A viene colpita da un oggetto esterno e inizia a muoversi perpendicolarmente alle aste.

Trova la minima distanza tra le sfere A e C durante il moto del sistema.

in realta non dovrei nemmeno applicarmi a capire la traccia e a lasciare questo problema a chi lo sa fare , ma sono un curioso , dunque per " ambiente privo di gravità " si intende una regione di spazio in cui non è presente alcun campo gravitazionale esterno o una regione di spazio ipotetica che ha come costante di gravitazione universale 0 e dove quindi le sferette non generano loro stesse forze ? ( immagino sia la seconda ipotesi dato che se cosi non fosse una volta che le sferette non si trovano piu sulla stessa retta ,la forza gravitazionale atrattiva tra a e c le farebbe inevitabilmente collidere( almeno credo ) e quindi la distanza minima è 0 ) anche se pure la seconda ipotesi è strana , cioe si chiede allo studente di considerare non una situazione ideale , ma una regione di spazio dove le leggi fisiche stesse non valgono ...

Non ci avevo pensato io né chi ha scritto il problema, ma in effetti bisogna specificare di trascurare l'interazione gravitazionale tra le sfere.

A me verrebbe , ma potrei aver sbagliato qualche conto, è giusto?

È giusto, potresti lasciare un hint per gli altri o postare la soluzione

Bene! Lascio un hint e in caso posto la soluzione tra qualche giorno.

Hint: dopo aver fatto dovute considerazioni geometriche si può provare a scrivere una stessa quantità in due modi differenti, sfruttando conservazioni e considerazioni geometriche, tali che uno di essi dipenda da AC

Finalmente nella foga dell'esame ho trovato un po' di tempo per fare questo bel problema... Provo a scrivere una soluzione al volo.

Si nota che detta la velocità diretta lungo l'asse delle della pallina A all'istante iniziale, si ha che il CdM del sistema si muove a velocità . Passiamo ora al sistema del centro di massa, dette , e le velocità rispettiamente di A, B e C abbiamo che , . Il sistema è inerziale dunque l'energia e il momento angolare si conservano, in particolare dalle condizioni iniziali si ottiene e .

Si nota ora che le tre palline sono sempre i vertici di un triangolo isoscele. Dunque sarà minimo quando sarà minimo anche langolo al vertice di tale triangolo. Questo accade quando la sua derivata rispetto al tempo è zero. Tuttavia all'istante in cui tale angolo non varia è possibile considerare il sistema come un corpo rigido in rotazione, il cui momento d'inerzia sarà mentre . Sostituendo si ha:



Calcoliamo ora alla maniera 'classica'. Siano , e le distanze dei tre vertici dal baricentro del triangolo, che in questo caso coincide con il CdM, legati dalle relazioni geometriche e . Il momento di inerzia è e sosituendo le relazioni di sopra si ha:



Uguagliando le espressioni (1) e (2) del momento d'inerzia si ottiene infine

Spero di non aver sbagliato a trascrivere nulla