EuPhO 2018 Problema 3

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Pigkappa
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EuPhO 2018 Problema 3

Messaggio da Pigkappa » 2 giu 2018, 18:21

Si sono appena svolte le olimpiadi europee della fisica 2018 in Russia. I problemi sono molto belli, perche' sono molto difficili concettualmente ma non in termini di conti o conoscenze avanzate, per cui li posto qua. Temo che non avro' tempo di seguire la discussione, ma rispondendovi a vicenda e, quando ci avrete provato seriamente, cercando le soluzioni online, potrete comunque imparare molto. Questo e' il problema 3.

La forma di equilibrio di corpi in assenza di gravita' e' determinata dalla forma che ne determina il minimo dell'energia di superficie. Per esempio, le gocce d'acqua nel vuoto sono sferiche, perche' la sfera ha la minor superficie a parita' di volumi.

A basse temperature, la forma di equilibrio di un cristallo puo' avere superfici piatte. Alcune parti della superficie cristallina formano degli scalini su questa parte del cristallo. L'altezza di questi scalini e' uguale al periodo del reticolo cristallino .

Si veda la figura per il profilo di equilibrio della superficie del cristallo di un cristallo ed i corrispondenti scalini sulle sue facce. Nella figura, n denota l'indice dello scalino, contando da x = 0. Il profilo per x > 0 si approssima come , dove m e nm.

A. Si esprima la distanza tra i due scalini adiacenti come funzione di n per .

B. L'energia di interazione E tra due scalini dipende dall distanza d tra di essi come: per una certa costante . Si assuma che ci sia interazione solo tra scalini adiacenti. Si determini il valore numerico di .
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Marcus
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Re: EuPhO 2018 Problema 3

Messaggio da Marcus » 18 giu 2018, 22:59

Intanto tento una soluzione per la parte A...

Si nota che per il profilo della 'scala' ad x positive corrispondono y negative, dunque quando si trova in funzione di del gradino dell'n-esimo scalino si antepone il segno meno per far tornare n positivo. Si ha ovvero .

Ora:



Per si ha e sostituendo sopra:



La parte B per ora posticipata a tempo indeterminato :lol:

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