147: Palline!

[Vinci]

A) Una pallina da tennis con (piccola) massa si trova sulla cima di una palla da basket con (grande) massa . Il punto più basso della palla da basket si trova ad altezza dal suolo e il punto più basso della pallina da tennis ad altezza dal suolo (insomma, è il diametro della pallina grande).
Le due palline vengono lasciate cadere.
Nell'approssimazione che e che tutti gli urti siano elastici, a che altezza rimbalza la pallina da tennis?

B) Generalizziamo! Consideriamo palline, chiamiamole , aventi masse (con approssimazione ) poste in pila una sopra l'altra. Il punto più basso di si trova ad altezza ed il punto più basso di si trova ad altezza dal suolo.
Tutte insieme vengono lasciate cadere.
Considerando tutti gli urti elastici, a che altezza rimbalza la pallina più in alto?

[lance00]

1)
2)

[Vinci]

Giuste! Posta il procedimento ed il testimone passa a te.

[lance00]

punto 2) sia la velocità dell'i-esima pallina. Allora vale e, utilizzando l'approssimazione,
per induzione si trova che e quindi
punto 1) caso particolare del punto 2 per n=2

[Vinci]

Per caso hai sbagliato a scrivere? Al posto del secondo intendevi e ai pedici dove sta i+1 intendi i-1? La formula ricorsiva è giusta, è quella prima che non mi torna proprio.

[lance00]

si scusa correggo subito

[Vinci]

Benissimo! La soluzione ufficiale, invece di usa brutalmente la formula per l'urto di due corpi, dice:
consideriamo il sistema , per l'approssimazione sulle masse il CM è centrato in e la velocità di in questo sistema nell'istante dell'urto è , e sempre per le approssimazioni sulle masse è anche la velocità con cui parte verso l'alto (la pallina di sotto è come un muro!). A questa velocità basta aggiungere la velocità del sistema per ottenere la formula ricorsiva.