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Una formica si avvicina a un muro da una distanza e sa che impiegherà un tempo a raggiungere il muro con la velocità che ha in quel momento, dopo aver compiuto uno spazio infinitesimo la formica sa che il tempo che manca alla nuova velocità è sempre . Insomma la formica non arriverà mai al muro perchè qualsiasi sia la sua distanza dal muro starà decelerando in modo non uniforme. Se mi sono spiegato troppo male, pensate che la velocità della formica in ogni punto è lo spazio tra la formica e il muro diviso .
1) Trovare dopo quanto tempo in funzione di la formica dimezza la distanza dal muro
2) Trovare la legge oraria del moto sempre in funzione di
3) Modifichiamo il problema: la formica si muove in direzione di un palo (avvicinandosi come se fosse il muro di prima) che si trova al centro di un disco spostandosi su di un raggio e il suo moto lungo il raggio ha legge oraria come quella al punto 2. Sapendo che il disco ruota a velocità angolare intorno al palo quando la formica dista dal palo e sapendo che il disco ha momento d'inerzia trovare quanti giri compie il disco in un tempo pari a . La formica ha massa .

Hint:
Il fatto che potrebbe comparire un numero negativo nel logaritmo non dovrebbe dare problemi, in quanto si finisce nei complessi e robe varie, comunque poi si torna ai reali definendo l'integrale

Per caso la risposta ai primi due punti è
è il tempo di dimezzamento e la legge oraria è ?

Forse ho sbagliato qualche conto, ma l'angolo percorso dal disco in funzione del tempo T mi viene

Il punto 1 e 2 sono corretti. Per il punto 3 c'è un problema: ho ricontrollato i calcoli che avevo fatto e ho visto che avevo dimenticato un quadrato
I calcoli sono molto più complicati così e l'hint è inutile. Il tuo risultato mi sembra possa funzionare. Posta il procedimento se vuoi, altrimenti provvedo a cambiare quel punto

Il punto 1 e 2 sono corretti. Per il punto 3 c'è un problema: ho ricontrollato i calcoli che avevo fatto e ho visto che avevo dimenticato un quadrato
I calcoli sono molto più complicati così e l'hint è inutile. Il tuo risultato mi sembra possa funzionare. Posta il procedimento se vuoi, altrimenti provvedo a cambiare quel punto

In realtà ho utilizzato l'hint per il punto 3, però l'argomento del logaritmo era sempre positivo, quindi non capivo cosa intendevi con quello che hai scritto dopo, ora posto il procedimento.

PUNTO 2
Sia la posizione della formica sulla retta su cui si muove, con l'origine nel punto dove è il palo e punto iniziale sul semiasse positivo. Avremo e la velocità sarà

dove il segno meno è dovuto al fatto che si muove verso l'origine. Per la regola di derivazione delle funzioni composte si ha

in quanto la derivata di rispetto al tempo è proprio la velocità della formica. Risolviamo quest'equazione separando le variabili e integrando, e si ha

che, elevando in base e, e ponendo la condizione iniziale ci dà

in quanto la velocità è negativa. Separando le variabili X e T ed integrando nuovamente otteniamo

che ponendo la condizione iniziale ci dà la legge oraria


PUNTO 1
Ponendo nell'equazione oraria

si ottiene facilmente


PUNTO 3
Essendo la sommatoria dei momenti delle forze esterne rispetto al centro del disco nulla, il momento angolare totale del sistema si conserva. In particolare si conserva tra l'inizio e un qualunque istante T nel quale la formica si trova a distanza r(T) dal palo (ed il disco gira ad una velocità angolare w(T)):

Sapendo che w è la derivata dell'angolo percorso rispetto al tempo e l'equazione oraria della formica sul raggio, si ottiene

Separando le variabili e integrando (se volete riporto i calcoli), si ottiene ( portando opportune costanti fuori e utilizzando l'hint con e ponendo la condizione iniziale che ) il risultato che ho scritto prima.

PS perdonate eventuali typo ed il fatto che non ho riporato i calcoli dell'ultimo integrale.

Nota: è la componente della velocità della formica perpendicolare al raggio su cui si muove la formica.
Per ottenere il numero di giri sostituiamo e dividiamo per

Perfetto Vinci, lascio a te il testimone.
Avevo posto l'origine del sistema di riferimento nel punto di partenza, quindi la legge oraria mi veniva che poi mi metteva un segno meno nel logaritmo e incasinava l'integrale quando la elevavo al quadrato. Complimenti comunque per la chiarezza e la rapidità di risposta