127: Un pianeta di plastilina

[Gamow00]

Si vuole produrre il campo gravitazionale più intenso possibile in un dato punto dello spazio usando un blocco di plastilina di densità e volume .

1. In che forma deve essere modellata la plastilina?
2. Qual è il modulo di questo campo gravitazionale?

Per la risoluzione del punto b. potrebbe essere utile conoscere il valore del seguente integrale definito:

[lance00]

Partiamo prima dal caso bidimensionale. Chiamiamo il punto . Il nostro campo gravitazionale massimo punterà in una direzione, su questa direzione poniamo l'asse x. Costruiamo quindi un piano cartesiano xy con P all'origine. Chiaramente la massa dovrà stare o dalla parte delle x positive o da quella delle x negative ma non da tutte e tue (altrimenti il campo non è massimo). Osserviamo che ogni punto del contorno della nostra massa dovrà produrre un campo massimo (lungo x) in P quindi tutti i punti del contorno devono generare lo stesso campo (se così non fosse, basta spostare un punto che genera un campo minore affianco a uno che ne genera uno maggiore). Dunque si ha => disegnando il grafico con wolphram alpha, si vede che assomiglia ad un'ellisse un po' schiacciata da una parte (più o meno ). Adesso facciamo ruotare questa superficie intorno all'asse x e otteniamo il solido che produce il maggiore campo gravitazionale in P (di cui non so scrivere l'equazione)

[Gamow00]

ogni punto del contorno della nostra massa dovrà produrre un campo massimo (lungo x) in P quindi tutti i punti del contorno devono generare lo stesso campo

L'idea vincente è questa . Il problema adesso è ricavare esplicitamente l'equazione del solido; siccome sei riuscito a ottenere un'equazione che lega l'angolo e la distanza dall'origine, perchè non provi con le coordinate polari?

[lance00]

perché le polari non le so usare comunque usando le cartesiane mi verrebbe (ponendo il campo risultante parallelo all'asse x e il punto P nell'origine)

[lance00]

quindi, quadrando, l'equazione del solido è qualcosa del tipo:

con questa equazione si ricava qualcosa di interessante: prendendo il caso bidimensionale (y = 0) l'equazione rimane
quindi la figura che produce un campo massimo è il cerchio

[carol]

Visto che non si sblocca provo a dire due cose 1) trovo difficoltà anche io ad usare le coordinate polari nello spazio 2) andandole a vedere su internet a me risulterebbe che si dovrebbe rendere costante e massimo il rapporto x/r e si tratterebbe di un cono con vertice nell'origine, asse x e molto appuntito. Ma i conti successivi mi risultano ostici e li approfondirò solo se è una strada possibile

[Gamow00]

Scusate se rispondo solo ora.
Non fatevi spaventare dalle coordinate polari: semplicemente mettono in relazione la distanza di un punto con l'angolo che questo punto forma con un dato asse. L'equazione polare del solido richiesta dal problema l'ha già trovata lance00 (senza saperlo oserei dire ) ed è
o meglio , dove è la distanza e l'angolo.
A questo punto si può fare il plot (come ha fatto lance) e notare che si tratta di una sagoma quasi piatta vicino all'origine e leggermente appuntita dall'altra parte. Per trovare il valore di e proseguire con i calcoli sarà meglio trasformare l'equazione polare in una parametrica. Intendo, passare a una forma del tipo
dove è un parametro comodo, che in questo caso può essere l'angolo.
Una volta trovate queste relazioni, si può procedere notando che il volume racchiuso dalla nostra curva (l'integrale) deve essere uguale al volume della plastilina, cioè . Ora si potrà calcolare la costante e andare avanti con il punto b. del problema.
Spero di essere stato abbastanza chiaro con le spiegazioni e non troppo spinto con gli hint

[lance00]

Può essere che venga qualcosa del tipo ?

[lance00]

e ?

[lance00]

come non detto, g è sbagliato