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Perché ? Se ho capito bene dovrebbe essere come l'accelerazione di gravità, quindi per si trova, ma perché poi è proporzionale a ? Non dovrebbe esserlo a ?

Posto anche la mia soluzione al punto 1.

Immagino di inserire al centro del corpo liquido una piccolissima quantità di gas, in modo da spostare un volume di liquido. Posso immaginare che la quantità di liquido spostata formi un sottile guscio all'esterno della sfera. Per spostare una massa dal centro all'esterno della sfera è richiesta un'energia
Quest'energia è uguale al lavoro fatto dal gas inserito, ovvero



Quindi
La pressione del gas è anche uguale, per il bilanciamento delle forze, alla pressione del liquido, quindi è proprio la pressione cercata.

c'è un teorema che afferma che un corpo posto all'interno di un guscio sferico di densità uniforme non risente di alcuna forza gravitazionale (dimostralo se vuoi, non è difficile). Quindi non tutto il pianeta contribuisce alla forza gravitazionale, ma solo la sfera di raggio . Sfruttando questo fatto puoi ricavarti facilmente l'accelerazione.
Inoltre puoi fare lo stesso ragionamento per trovare il campo all'interno di una sfera conduttrice carica o il campo magnetico all'interno di un filo percorso da corrente (viene sempre lineare in r)

Per il punto (b) la soluzione quindi sarebbe: la forza risultante è data dalla somma vettoriale della spinta di Archimede esercitata sul fluido e della forza peso che lo attrae verso il centro. Come sappiamo la forza di Acrhimede è pari al peso del fluido spostato, quindi , mentre la forza-peso è e dunque si ha giusto?

giusto?

Si è mangiato i sopra e sotto