Ottimizzazione di un ciclotrone (SNS 2017-2)

[arna1998]

Il ciclotrone fu inventato nel 1930 da Ernest Orlando Lawrence per accelerare gruppi di protoni usando piccole differenze di potenziale. Il suo schema di funzionamento è il seguente: i protoni girano all'interno di due elettrodi cavi a forma di D in presenza di un campo magnetico diretto verticalmente rispetto al piano del moto. Sotto l'azione del campo magnetico le particelle percorrono orbite semicircolari e ad ogni mezzo giro vengono accelerate in un tempo molto breve dalla differenza di potenziale tra gli elettrodi. Ad ogni mezzo giro la tensione applicata agli elettrodi viene invertita, in modo che i protoni vengano accelerati a ciascun passaggio. Questi percorrono dunque orbite di raggio via via crescente per poi essere estratti da un deflettore una volta raggiunto il bordo del dispositivo (vedasi lo schema allegato).

• Dimostrate il principio fondamentale del funzionamento del ciclotrone (valido nel limite di velocità non relativistiche), ovvero che il periodo di rotazione dei protoni non dipende dal raggio della loro orbita. Questo permette di accumulare gruppi di protoni all'interno del ciclotrone che girano in sincronia su orbite di raggio diverso invertendo la tensione degli elettrodi con una frequenza costante.

• Assumendo che i protoni vengono iniettati nel ciclotrone con una velocità iniziale e una distanza dal centro (raggio dell'orbita) molto piccoli rispetto ai corrispondenti valori finali, determinare l'energia cinetica che le particelle hanno quando vengono estratte in funzione della loro massa e carica elettrica e dei parametri della macchina.

• Ottimizzate il progetto di un ciclotrone con tenendo conto del suo costo di realizzazione. Assumete che una parte del costo aumenti in modo proporzionale all'area del magnete e una restante parte scali come , dove è l'intensità del campo magnetico. Determinare i parametri ottimali della macchina sapendo che un ciclotrone con e raggio costa il doppio di uno con lo stesso campo magnetico e raggio . Dati utili: , (massa del protone), (carica elettrica del protone).

[lance00]

punto 1) poiché la forza centripeta è la forza magnetica, si ottiene che, chiaramente, non dipende da R
punto 2) si ha e, sostituendo nella formula dell'energia cinetica,
punto 3) si tratta di minimizzare la funzione costo con il vincolo RB = costante. Dai dati si ricava quindi bisogna trovare il minimo di con RB fissato.
Si ha per AM-GM pesata con l'uguaglianza quando
sapendo quanto vale RB, si ricavano facilmente sia R che B

[arna1998]

Il procedimento mi sembra tutto corretto

Nel punto 3 per trovare il minimo anche io al test ho usato AM-GM, ma eventualmente si può derivare, che credo sia più veloce e apprezzato dai fisici

[lance00]

come si fa derivando? La funzione è a 2 variabili

[arna1998]

Dall'energia cinetica , sostituendo in si trova
da cui per il minimo
e quindi
e .

[lance00]

ah già ... non ci avevo proprio pensato... comunque con AM-GM rimane più figo