109. Satellite

[Ciccio98]

Io l'avevo risolto semplicemente applicando il secondo principio della dinamica. Poiché in un moto uniforme circolare la velocità tangenziale è uguale a 0, devo solo considerare la forza di attrito: quindi Kpv^2=ma. Mi sembrava molto semplice in questo modo e conoscendo Flaffo ho fatto di tutto per risolverlo con qualche derivata . A volte le idee più semplici sono quelle giuste

[Flaffo]

Poiché in un moto uniforme circolare la velocità tangenziale è uguale a 0, devo solo considerare la forza di attrito: quindi Kpv^2=ma. Mi sembrava molto semplice in questo modo e conoscendo Flaffo ho fatto di tutto per risolverlo con qualche derivata

In un moto circolare la velocità tangenziale non è uguale a zero, ma comunque non ha importanza.. Perché quello del satellite non è un moto circolare, ma più una spirale. Inoltre la sola forza d'attrito non basta a giustificare l'accelerazione positiva del satellite. La forza di attrito è diretta in verso opposto al moto dunque porta ad accelerazione negativa.

Anche se non ho capito bene il procedimento alternativo di Guido (lo potresti rispiegare? ) il suo suggerimento di derivare l'energia totale, e porre questo uguale alla potenza sviluppata dalla forza di attrito è giusto. Ma per risolvere il problema ti manca una seconda equazione.. dove la trovi?
Risultato interessante alla fine è che la componente tangenziale della forza peso risulta essere uguale a due volte quella di attrito.

[guido]

Si, mi riferisco a quella tangente alla traiettoria. Abbiamo la forza di attrito negativa (verso opposto al moto) e la componente della forza gravitazionale ovviamente positiva (la traiettoria è una spirale..)

Cosa devo spiegare? Questa risposta, d'accordo con quanto avevo chiesto, me l'hai data tu il giorno 29 come cito sopra. Ed io ho postato la mia soluzione imponendo appunto che l'acc. tang. fosse determinata per la legge di Newton dalla forza di attrito negativa perchè opposta al moto come dici tu e dalla componente della forza gravitazionale lungo v ancora come dici tu. Dov'è il problema? Perchè ci vuole un'altra equazione? Anche il ragionamento sull'energia, che dici pure essere giusto, da lo stesso risultato ( ma non era quello che suggerivi a Ciccio? Gli dicevi: parti dall'energia e poi derivando delle cose ti ricavi l'accelerazione.....)
Questa volta proprio non ti capisco ma forse bisogna imporre che la componente della forza gravitazionale sia doppia della forza d'attrito. Perchè non lo vedo...

[Flaffo]

Guido, mi sembra che nella tua soluzione, non hai trovato effettivamente l'equazione che lega l'accelerazione con la forza di attrito, perché tu non conosci, o meglio, non ti sei ticavato il termine

.

Fino ad ora hai semplicemente applicato la seconda legge di Newton.. componente tangenziale della forza gravitaziomale meno forza di attrito. Adesso per andare avanti, come ho sugerito prima, ti conviene derivare l'energia totale. Dopo che hai fatto questo, ti servirà un'altra equazione (l'energia totale è in funzione di r e non di v, al contrario se sostituisci una cosa che contenga v, la derivi rispetto al tempo per ottenere dv/dt ----> accelerazione)

[guido]

Vorrei ancora un pò di tempo ( visto che ho cominciato dopo) per questo intrigante tuo problema: ti pareva...
Condivido la tua osservazione che devo ricavare rpunto/v. Ma l'eq. di Newton equivale secondo me alla derivata dell'energia totale che dipende da v. Infatti ti chiedo di spiegarmi perchè non mi riesce di capire: sono d'accordo che l'energia totale dipende solo da r (=-(1/2)GMm/r) ma quando il moto è circolare uniforme mica ora. Questo io penso perchè ora la forza di attrito potrebbe essere più o meno forte, dipendere dalla v in vario modo e quindi vedo l'energia totale dipendere da v come risulta da Newton e come risulterebbe derivando . Ti prego di dirmi dove sbaglio e/o perchè bisognerebbe considerare l'energia totale del moto circ. uniforme.
Grazie a te

[Flaffo]

Hai ragione sul fatto che quell'equazione non vale se la forza di attrito è grande. Dato, però, che ci troviamo ai limiti dell'atmosfera (Ciccio ha calcolato la densità dell'aria ed era dell'ordine di penso sia una buona approssimazione. Altrimenti applichi il teorema del viriale (che penso sia sempre approssimato in questo caso) sensa farti troppe domande
Non seguire troppo i miei suggerimenti che non sono bravo a darli

[guido]

Da scuola: usando il teorema della media (viriale) si dimostra in primo luogo che la componente dell'acc. radiale nella direzione di v è doppia e di verso opposto a quella prodotta dalla forza di attrito. Derivando poi l'energia con l'en. cinetica troverei
Naturalmente il passaggio intermedio lo posterei solo se il risultato fosse giusto anche perchè qui non ho tempo

[Flaffo]

Il risultato è giusto
Posta pure il procedimento

[guido]

Secondo il teorema sotto l'azione di una forza centrale praticamente conservativa e considerando le medie dell'energia cinetica e potenziale, l'energia totale può esprimersi . La sua derivata temporale deve uguagliare la potenza della forza di attrito che provoca la diminuzione di . Si ottiene
. Ma cioè m per l'acc. di gravità e, come ti avevo detto nel primo post, poichè è proprio la componente di v su r (l'altra è normale a r). Allora risolvendo ovvero che la componente dell'accelerazione di gravità su v è doppia ed ha verso opposto dell'accelerazione della forza d'attrito. Non essendoci altre accelerazioni su v si può già concludere che

[Flaffo]

Ok, giusto. Forse ti avrei potuto dare un miglior suggerimento tipo quello di derivare solo l'energia cinetica sapendo che la derivata dell'energia totale rispetto al tempo è la potenza dissipata dalla forza di attrito.. poi basta dire e in due passaggi hai finito, senza troppi problemi.

Ora bisogna decidere a chi dare la staffetta.. io proporrei Ciccio, altrimenti la monopolizzeremo