Forum OLIFIS

In una sfera di raggio $R$ e conducibilità termica $\kappa$ viene prodotto calore in modo isotropo. Il calore prodotto per unità di volume e di tempo è $Q$ . La sfera è in uno spazio in cui c'è lo zero assoluto e irraggia come un corpo nero. Calcolare, in funzione della distanza radiale dal centro, la temperatura all'interno della sfera all'equilibrio.

La temperatura superficiale della stella è data eguagliando l'energia emessa (data dalla relazione di Stefan-Boltzmann ) e l'energia prodotta al suo interno (per unità di tempo):

$\displaystyle 4 \pi R^2 \sigma T^4 = \frac {4}{3}\pi R^3 Q$

Da cui:

$\displaystyle T_s = {\left (\frac {RQ}{3\sigma}\right) }^{1/4}$

$\displaystyle \frac {dE}{dt }=\frac {4}{3}\pi r^3 Q$

$\displaystyle \frac {dE}{dt}= - \kappa 4 \pi r^2 \frac {dT}{dr}$

Dato che siamo in equilibrio, le due quantità sono uguali, altrimenti si avrebbe un accumulo o una scomparsa di calcore, che contradirrebbe l'ipotesi iniziale. Eguagliando, dopo un po di passaggi arriviamo a:

$\displaystyle r dr = -\frac {3 \kappa }{Q} dT$

Integriamo, scegliendo opportunamente gli estremi:

$\displaystyle \int_{R}^{r} {r dr }=-\frac {3 \kappa }{Q} \int_{T_s}^{T}{dT}$

Svolgendo e Isolando T:

$\displaystyle T \left ( r \right) = \frac {Q}{6\kappa } \left ( R^2 - r^2 \right) + { \left (\frac {RQ}{3\sigma } \right)}^{1/4}$

Dovrebbe aver senso se controlliamo i casi limiti e le proporzionalità ( Q, k..)

Il risultato è sbagliato, anche perché sarebbe paradossale che la temperatura aumenti all'aumentare della distanza dal centro

Mi sono accorto di alcuni errori stupidi.. ho modificato l'ultimo post

Esattamente, a te il testimone

Forum OLIFIS

106. Sfera calda all'equilibrio

106. Sfera calda all'equilibrio

Re: 106. Sfera calda all'equilibrio

Re: 106. Sfera calda all'equilibrio

Re: 106. Sfera calda all'equilibrio

Re: 106. Sfera calda all'equilibrio