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Si consideri una protostella in collasso gravitazionale come una sfera di gas di massa . Quando il raggio è si possono trascurare gli scambi di calore a causa dell'irraggiamento (il collasso è adiabatico). Trovare approssimativamente, anche senza determinare i coefficienti adimensionali, il raggio e la temperatura quando la stella smette di collassare (si considera comunque minore della temperatura di fusione).

Nella fase iniziale trascurare gli scambi con l'esterno vuol dire che il collasso è adiabatico o che si mantiene in equilibrio termico con l'ambiente e quindi il collasso è isotermo in questa prima fase. E' una questione linguistica decisiva. Grazie.

Il collasso è adiabatico

Vi lascio uno schema molto semplificato di quel che succede per evitare vi vengano idee confuse . Se non sbaglio succede questo:

1.) In una prima fase iniziale la materia e' molto dispersa. Comincia a collassare e mentre collassa aumentano densita', pressione, temperatura, in particolare nelle zone centrali. L'aumento di temperatura causa emissione di luce che viene dispersa.

2.) A un certo punto la densita' e' abbastanza grande da far si' che i fotoni emessi vengono riassorbiti prima di uscire dalla struttura (immaginate ci sia nebbia). Tuttavia la pressione non e' ancora sufficiente a fermare il collasso. Il tempo scala in cui la radiazione sfugge dalla struttura e' molto piu' lungo di quello di collasso . In questo senso possiamo dire che il collasso e' adiabatico. In fisica stellare, questi due tempi si chiamano rispettivamente "tempo di Kelvin-Helmoltz" e "tempo di caduta libera".

3.) A un certo punto la pressione e' aumentata a sufficienza da fermare il collasso. Da questo momento in poi la struttura non collassa piu' in un tempo . Tuttavia, continua a perdere energia interna, e quindi temperatura e pressione, in un tempo . Per cui continua a collassare, ma piu' lentamente, su un tempo .

4.) A un certo punto la pressione e temperatura centrali sono diventate cosi' grandi che iniziano a esserci reazioni nucleari nel nocciolo della struttura. La stella continua a perdere energia in un tempo ma nuova energia viene generata nel centro per cui il collasso rallenta ancora di piu'. Il nuovo tempo scala e' quello in cui si esaurisce il combustibile nucleare (ad esempio per il Sole circa 10 miliardi di anni, necessari per finire di bruciare l'idrogeno).

Il problema di CaptainJohnCabot si riferisce al punto 2. La struttura si chiama "protostella" nelle fasi 1-3 e "stella" a partire dalla fase 4.

Se il collasso è adiabatico il lavoro di contrazione effettuato dalla forza gravitazionale è uguale alla variazione di energia interna. Considerando il gas perfetto abbiamo che è possibile determinare in funzione di e sono . Se come mi sembra non è data, a parte la difficoltà dei conti, si può determinarla sfruttando la ulteriore relazione . Ma secondo me il punto centrale è: fino a quale r continua il collasso? Secondo me fino a quando la pressione interna del gas uguaglia quella prodotta dalla forza gravitazionale. Io non trovo di meglio che approssimare questa pressione finale con quella di una colonna di gas alta con acc. di gravità quella competente a ovvero Sarà in funzione della densità che si elimina e del peso molecolare. Si possono determinare ma prima di postare i risultati vorrei sapere se è data e se questo procedimento può andare

P:S. Ahimé quando sono andato a inviare questo messaggio ho letto quello di Pigkappa!!! Lascio il mio tuttavia per vedere quanto poco ci avevo capito

Il problema è proprio bello spero di averci preso

Ho ragionato con l'energia, il collasso gravitazionale implica una diminuzione dell'energia gravitazionale e un aumento della temperatura.
Per calcolare l'energia potenziale gravitazionale ho considerato l'energia guadagnata da un guscio sferico portato dall'infinito nella sua posizione. Definito il potenziale gravitazionale come , cioè l'energia potenziale per unità di massa, si può calcolare l'energia totale integrando:


, avendo sostituito il corrispettivo valore di

Dalla conservazione dell'energia:

Ora dato che la compressione è adiabatica:

Dalle due equazioni precedenti si può ricavare sia che , i calcoli non li ho fatti, in caso fosse giusto posso farli.
Non so se sia lecito considerare note e o il peso molecolare

Molto approfondite entrambe le soluzioni e un grazie a pigkappa per il suo fantastico intervento chiarificatore

Era lecito considerare note , ecc... Nel problema originale venivano ricavati dai dati iniziali nelle varie parti che non ho riportato. Imprecisione mia nell'adattamento

Per Federico:

Il procedimento è sicuramente giusto a livello concettuale, quindi a meno di errori di calcolo i risultati dovrebbero venirti. Basta che posti l'espressione, anche senza i vari passaggi risolutivi, di o , e ti passo la staffetta. Mi serve giusto come conferma e per dare una conclusione formale al problema.

Per guido:

Il tuo metodo di risoluzione è uguale, o almeno molto simile, al mio. Bilanciare la pressione 'idrostatica' con quella del gas perfetto, dato che non sono necessari coefficienti adimensionali, permette di risolvere, anche se brutalmente, il problema molto più velocemente. Il quesito completo è il terzo delle IPhO del 2012, e nelle varie soluzioni alle domande vengono preferiti analoghi espedienti risolutivi in grado di velocizzare molto i calcoli.

In questo caso, anche se entrambi gli approcci sono corretti, ho deciso, dopo che avrà postato i risultati, di dare la staffetta a Federico, dato che è riuscito a determinare in più i famosi coefficienti adimensionali.

Per Federico e Cap. John Cabot.
Scusatemi mi sonono potuto riricollegare solo ora. Federico non ha ancora postato i risultati per cui vorrei chiedere qualcosa rispetto a quello che io ho considerato come problema principale: perchè l'r che Federico calcola è quello a cui la stella smette di collassare?
Dalla sua soluzione non lo capisco forse non vedo qualcosa

Per Guido: è il raggio a cui si ferma il collasso gravitazionale poiché, essendo questo adiabatico e avendo una relazione tra la temperatura e il volume di tale trasformazione, il raggio è univocamente determinato. Cerco di spiegarmi meglio, se il collasso fosse minore o maggiore non potrebbe essere adiabatico.

Per Captain: senza l'approssimazione è veramente troppo contoso, spero me la passerai per buona.


Probabilmente si poteva approssimare meglio per avere qualcosa di più decente

Ok Federico, procedi pure con il 103