SNS 2010/2011 problema carrucola

[Bertal]

Ciao,

sto provando a risolvere questo problema da qualche giorno, ma senza risultati !

Vi posto il testo:
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Considerate la corda inestensibile e di peso trascurabile e lunghezza L in figura, avvolta
attorno ad una carrucola di raggio R e alle cui estremità sono appesi inizialmente due corpi
S e B di massa m. Il sistema è inizialmente in quiete e con i corpi S e B alla stessa quota,
ma a t = 0 il corpo S inizia ad arrampicarsi sulla corda con una accelerazione costante a
grazie ad un meccanismo interno. Il corpo raggiunge così una velocità v0 e quindi rallenta
con decelerazione uguale ad a in valore assoluto, fino a tornare in quiete. Tutte le velocità ed
accelerazioni del corpo S si considerino sempre relative alla corda. Assumendo che la corda
non slitti mai sulla carrucola, determinare il moto dei due corpi nei seguenti casi:
3a la carrucola ha massa trascurabile;
3b la carrucola è un disco rigido omogeneo di massa M e momento di inerzia I = MR2/2.
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Io credo che nella prima fase le due masse salgano entrambe con accelerazione a/2 (dove a è quella rispetto alla corda) ma sono molto insicuro !!
Spero che i GRANDI del forum si cimentino nella soluzione almeno del primo punto !
Grazie

[spn]

Provo a darti qualche hint per il primo punto, il secondo penso che si possa fare abbastanza tranquillamente capito il meccanismo:

Supponiamo che le accelerazioni delle due masse siano diverse, quali dovrebbero essere le tensioni della corda su S e B?
Qual'è l'accelerazione angolare della carrucola in questo caso?

[Eagle]

Ho provato a risolvere qualitativamente il problema e ho immaginato la massa (con il meccanismo interno) come uno scoiattolo che tenta di salire spingendo con le zampe il filo verso il basso. Ci vado con i piedi di piombo, perché non so se sia possibile, ma intuitivamente vedo lo scoiattolo fermo che spinge in basso la corda restando alla stessa altezza, mentre l'altra massa sale. E' possibile?

[Meta*]

I corpi si trovano allo stesso livello sia quando l'accelerazione è positiva sia quando è negativa (immagino) ma la forza che provoca l'accelerazione va disegnata agente sulla corda verso il basso o in direzione dell'accelerazione verso l'alto ?

[spn]

Cerco di rispondervi:

Cercate di fare dei discorsi un minimo quantitativi. Su entrambe le masse agiscono solo due forze: quella del peso e la tensione del filo, adesso basta ragionare su F=ma.

@Eagle: perché mai il povero scoiattolino dovrebbe restare fermo? Ciò implicherebbe per altro che non ci si può arrampicare su un muro (sarebbe il caso in cui l'altra massa sarebbe infinita e tipo poggiata su un tavolo).

@Meta*: perché mai si dovrebbero trovare sempre allo stesso livello anche se hanno accelerazioni diverse? E' ovvio che la corda può solo tirare e non spingere.

[Bertal]

Allora, si una volta risolto il primo punto per il secondo non dovrebbero esserci problemi.
Allora in caso di masse diverse la tensione dovrebbe essere uguale per entrambi
e l'accelerazione angolare della carrucola = ((m1-m2)/(m1+m2) * g) / R

[Bertal]

Allora, stavi rispondendo mentre io scrivevo !
Ti posto il mio ragionamento
Sul corpo di destra agiscono le forze m2 * g ed F (forza da lui esercitata) verso l'alto più un' ipotetica tensione tensione sempre verso l'alto quindi:
(T + F) - m2 * g = m2 * Ab (Con Ab intendo l'accelerazione del blocco rispetto alla terra)
Sull'altro:
(T + F) - m1 * g = m1 * Ac (Con Ac intendo l'accelerazione del blocco di sinistra rispetto alla terra che è la stessa della corda)
Per le accelerazioni dovrebbe valere:
Ab = A - Ac (dove A è l'accelerazione del blocco di destra rispetto alla corda)

quindi risolvendo:

Ab = (m1 * A + g * (m1 - m2)) / (m1 + m2)

con m1 = m2 = m

Ab = A / 2
e per l'altro corpo:
Ac = A / 2

Quindi entrambi salgono con accelerazione A / 2 verso l'alto

[spn]

Ma a priori non puoi dire che nel primo caso le tensioni siano uguali: sulla carrucola c'è attrito (altrimenti non girerebbe affatto): da lì si mostra facilmente come hai fatto vedere tu che le accelerazioni sono uguali. Inoltre quella F che hai messo tu non esiste, il corpo non fa nessuna forza su se stesso.

Poi non è quella l'accelerazione angolare (occhio a non confondere il problema con una macchina di Atwood).
In questo caso il momento torcente agente sulla carrucola è , e l'accelerazione angolare si trova .

[Meta*]

Dove è l'accelerazione rispetto la corda e è l'accelerazione del corpo che si muove




Sostituendo:



Da qui se trascuro la massa del disco


La sciocchezza è nell'aver trascurato la M se la trascuro non vale ma se non posso uguagliare le Tensioni come posso relazionarle ?

[Alex90]

Puoi relazionarle notando che entrambe le tensioni generano un momento torcente sulla carrucola da cui

R(T_2-T_1)=I \alpha

relazionando \alpha e l'accelerazione della corda hai tutto