Giro della morte

[Simone256]

a) Una massettina puntiforme si avvia a velocitá orizzontale verso un giro della morte circolare di raggio e di massa fissata sul piano; qual è la velocitá iniziale minima affinchè non si stacchi prima di completare il giro (si trascurino tutti gli attriti)? Sia l'accelerazione di gravitá.

b) E se la rotaia circolare non fosse fissata ma libera di scivolare sul piano da cui parte la massettina?

c) E se la rotaia circolare fosse una specie di ruota dentata libera di ruotare senza strisciare sul piano da cui parte la massettina?

Diciamo che i punti sono in ordine di difficoltá, non ho una soluzione certa per b) e per c) ma ho dei risultati che potrei confrontare

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[nace26]

Ciao, sono maldestro con il latex (leggi: non lo so usare ) quindi ti posto il risultato che mi è venuto per il primo punto, se è giusto magari provo a scrivere il procedimento. A me è uscito fuori V_0minima=(5gR)^1/2

[Simone256]

A memoria mi sembra giusto prova a scriverlo
Se non sai scrivere in latex fa così... Prendi un messaggio molto scritto in latex e "citalo" rispondendo nella doscussione... A quel punto ti appare il codice nella pagina e puoi vedere un po' come è fatto e pian piano impari
(Fidati un po' di latex ti sará utile )

[nace26]

Allora, vediamo cosa viene fuori...
Quando sarà nel giro della morte, la massettina sarà sempre soggetta a due forze: quella gravitazionale e quella centrifuga . La velocità è data dalla nota formula , dove è l'altezza misurata verticalmente dal suolo. Ora, consideriamo il diametro del giro perpendicolare al suolo, e definiamo l'angolo come quello individuato da questo diametro ed il raggio congiungente centro e massettina. Abbiamo subito nel quarto di giro "in basso a destra", e in quello "in alto a destra".
Ora, finché la massettina sta nel primo quarto, non c'è motivo per cui debba staccarsi dalla struttura, quindi affinché arrivi a quota h=r è sufficiente, come valore minimo, . Ma in verità il punto focale arriva nel secondo quarto.
A noi interessano le componenti radiali. Quella di vale, in modulo, (il segno meno l'ho messo perché il modulo deve essere positivo e al momento abbiamo compreso tra 90 e 180 gradi).
Lavorando con queste formule, si trova che deve essere maggiore di . Questo valore si massimizza, com'era ovvio, per , per cui, affinché la massettina raggiunga l'apice, il valore minimo per la velocità iniziale sarà .
Ora, per completare la soluzione, si può notare che nel terzo e nel quarto quarto (mamma è bruttissimo da sentire) il moto procederà simmetricamente, e quindi non avrà nessun problema ad arrivare in fondo.
Se ho sbagliato qualcosa, scusate, è che ero troppo concentrato a capire sto latex ahahah
Dimmi se è giusto così provo gli altri punti!

[Simone256]

È giusto! Solo che nel momento in cui dovrai scrivere una soluzione in una gara, in un concorso o in un esame ti converrá essere il più "pulito" possibile
Quindi... Invece di distinguere in casi il problema e ad utilizzare la forza centrifuga (che è corretto in questo caso ma è spesso abusata) nel sistema non inerziale della massettina, io direi che è più simpatico impostare così:

-La velocitá in funzione della quota te la ricavi come hai fatto.
-Affinchè la massettina stia sull'orbita che ci piace, la componente radiale della somma vettoriale di forza peso e reazione normale deve generare un'opportuna forza centripeta.
-Ricavi la forza normale in funzione dell'angolo e verifichi che per ogni angolo sia diretta verso il centro del cerchio.

Se non sei daccordo con quello che ho scritto magari fai anche bene (magari ho confuso un po' le cose ), se non ti è chiaro chiedi pure... La tua soluziome èsenza dubbio giusta, ma forse per qualcuno la mia soluzione è più... "bella e facile" da leggere.

[nace26]

Ma anzi! Grazie mille per i consigli! Con nessuno a correggermi queste cose, la mia assoluta inesperienza olimpica (vuoto che purtroppo non potrò mai colmare ) potrebbe presto darmi dei problemi !
Per il secondo punto, pensavo di impostare qualcosa con le conservazioni di energia cinetica e quantità di moto. La quantità di moto dovrebbe conservarsi nella componente orizzontale, e quindi suppongo che bisogni ragionare un po' con i vettori... Sto pomeriggio provo a vedere se ci capisco qualcosa!

[arna1998]

Per quanto riguarda il punto 2, io lo ho provato così:
Per compiere un giro della morte è necessario che la velocità della massa sia, nel punto più alto, . Se chiamo la velocità alla quale si muove il giro nella morte nel momento in cui la massettina raggiunge il punto più alto, allora la velocità per un osservatore esterno sarà: .
La quantità di moto sull'asse orizzontale si conserva, quindi .
Metto a sistema queste 2 equazioni con la conservazione dell'energia, , e come soluzione ottengo:


Ho provato (con l'aiuto di Wolfram Alpha ) a fare il limite con che tende a infinito, e mi esce il risultato del punto a) . L'ho interpretato come un buon segno, ma è meglio confrontare con qualcuno

EDIT: riguardando i conti, credo di aver sbagliato l'equazione della quantità di moto infatti dovrebbe essere: . Appena posso provo a rifare i conti

[arna1998]

Ho rifatto i conti, la soluzione che ho trovato è:


Il discorso del limite funziona comunque, quindi spero che sta volta sia giusto

[Simone256]

Puoi postare a grandi linee il procedimento? Perchè non mi torna il risultato

[arna1998]

Il procedimento è quello che scritto nel mio primo post. In pratica se mi metto nel sistema di riferimento del giro della morte, quando la massa piccolina raggiunge il punto più alto deve avere una velocità in modulo pari almeno a . Ora mi sposto in un sistema di riferimento esterno, chiamo la velocità del giro della morte e la velocità del blocchetto. In questo caso , perché il giro della morte si sta muovendo in direzione opposta rispetto al blocchetto. A questo punto imposto il sistema tra conservazione della quantità di moto e conservazione dell'energia:

Dai qui in poi solo conti fino a . Potrei aver sbagliato i conti(sempre che non ci sia un errore nel ragionamento ), a te cosa esce?