Problema Matematica (ammissione Galileiana 2014/15)

[RiccardoKelso]

Dato che non sono abbastanza sveglio da trovare le soluzioni online (mi pare proprio che non vi siano), propongo qui il 5° problema di cui il titolo, sperando che qualcuno si prenda la briga di spenderci 10 minuti per poi confrontare i risultati.

In un gioco tradizionale armeno un giocatore gioca contro il banco lanciando due dadi. Se la somma dei risultati che appaiono sulle facce superiori vale 7 o 11 il giocatore vince, se invece la somma vale 2, 9 o 12 vince il banco. Nel caso in cui al primo lancio il giocatore ottenga un risultato n diverso da 2, 9, 7, 11, 12, egli lancia ancora i dadi ripetutamente finché la somma delle facce superiori non faccia n, nel cui caso vince, o 7, nel cui caso vince il banco. Qual è la probabilità che il giocatore ha di vincere? Conviene fare questo gioco?

[Simone256]

Vabbè che è un forum di fisica... Però visto che richiama il lemma del dado è accettabile.
Facendo due conti a mano dovrebbe uscire che la probabilitá di vincere è 1/9 e quella di ritirare ancora è 13/18... Quindi

p=1/9 + 13p/18

p=2/5

Probabilmente ho sbagliato i conti...

[gluonstrongforce]

P = 2/9 + 11/18 P

Quindi, se tutto quadra, P = 4/7 e conviene giocare

[Simone256]

Era palese che avessi sbagliato i conti

[RiccardoKelso]

Allora temo di aver preso un grosso abbaglio. Provo a descrivere il procedimento che ho seguito io: riguardo al primo lancio, è evidente che la probabilità di vittoria è 2/9. Allo stesso tempo, la probabilità di andare al secondo lancio è di 2/3. Nel momento in cui siamo al secondo lancio, la probabilità di vittoria è X = N + (1 - N - 1/6)X, dove N è la probabilità di rifare lo stesso numero del primo lancio. Quindi abbiamo P = 2/9 + X. Dai miei calcoli risulta N = 50/432 e di conseguenza X = 25/61, da cui P = 347/549, anche se mi rendo conto che è un risultato assurdo.

[RiccardoKelso]

Allora temo di aver preso un grosso abbaglio. Provo a descrivere il procedimento che ho seguito io: riguardo al primo lancio, è evidente che la probabilità di vittoria è 2/9. Allo stesso tempo, la probabilità di andare al secondo lancio è di 2/3. Nel momento in cui siamo al secondo lancio, la probabilità di vittoria è X = N + (1 - N - 1/6)X, dove N è la probabilità di rifare lo stesso numero del primo lancio. Quindi abbiamo P = 2/9 + X. Dai miei calcoli risulta N = 50/432 e di conseguenza X = 25/61, da cui P = 347/549, anche se mi rendo conto che è un risultato assurdo.

Oppure è necessario fare P = 2/9 + 2X/3, il che porterebbe il risultato a 272/549, il quale, pur essendo assai strano è molto più vicino a 1/2 e di conseguenza parzialmente giustifica la domanda finale, molto poco significativa a prima vista.

[Henri Bergson]

Per vincere o la becchi al primo tiro, oppure becchi uno dei numeri che ti fa ritirare e la becchi in una delle volte successive. Ora se ammettiamo che tu abbia gia fatto il primo lancio e sia uscito uno dei numeri che ti fa ritirare... qual è ora la probabilità di vittoria? È esattamente la stessa che avevi prima di lanciare la prima volta visto che ora la situazione è esattamente uguale. Quindi devi sostituire la tua x con una p.
Si chiama lemma del dado ragazzo mio, ed è un metodo illustrato egregiamente nel mio capolavoro "l'evoluzione creatrice".

[sall96]

Non ho ben capito il tuo procedimento... Perché dovresti calcolare la probabilità di rifare lo stesso numero del primo lancio?
Ad ogni modo esistono molti metodi per fare un problema del genere (forse anche il tuo va bene, anche se non l'ho capito ), ma a mio parere quello usato da Simone e gluonstrongforce è il più semplice e lineare, ed è difficile sbagliarsi (se non con i conti )

[RiccardoKelso]

A me, dal testo del problema, sembra di capire che per vincere in un lancio che non sia il primo devi rifare la stessa somma che hai fatto al primo lancio. No?

[RiccardoKelso]

Per vincere o la becchi al primo tiro, oppure becchi uno dei numeri che ti fa ritirare e la becchi in una delle volte successive. Ora se ammettiamo che tu abbia gia fatto il primo lancio e sia uscito uno dei numeri che ti fa ritirare... qual è ora la probabilità di vittoria? È esattamente la stessa che avevi prima di lanciare la prima volta visto che ora la situazione è esattamente uguale. Quindi devi sostituire la tua x con una p.
Si chiama lemma del dado ragazzo mio, ed è un metodo illustrato egregiamente nel mio capolavoro "l'evoluzione creatrice".

Spero di non fare la figura dello sbruffone che poi cade in errore, ma ti consiglio di rileggere il testo con più attenzione.